วิธีการใช้กฎกำลังในการคำนวณประมาณค่าอนุพันธ์เป็นวิธีหนึ่งที่นิยมใช้ในกรณีที่ต้องการคำนวณอนุพันธ์ของสมการพหุนามที่มีค่ากำลังต่ำกว่าหนึ่งตัว โดยอย่างง่ายที่สุดเราสามารถบอกได้ว่ากฎกำลังนั้นใช้ในการคำนวณอนุพันธ์ของสมการพหุนามที่มีรูปแบบ xn โดยที่ n เป็นจำนวนจริง เมื่อเราต้องการคำนวณอนุพันธ์ของ xn เราสามารถทำได้โดยการคูณ n กับ xn และลดค่ากำลังลงไปอีกหนึ่ง ดังนั้นสูตรค่าอนุพันธ์ของกฎกำลังทั่วไปคือ d(xn)/dx = nxn-1

ในบทความนี้เราจะได้ศึกษาเกี่ยวกับแนวคิดของการคำนวณอนุพันธ์ด้วยกฎกำลัง และสูตรของกฎกำลังทั่วไป เราจะพิสูจน์สูตรทั่วไปของกฎกำลัง และเข้าใจการประยุกต์ใช้กฎกำลังด้วยตัวอย่างที่แก้ไขไว้เพื่อให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น นอกจากนี้เรายังจะพูดถึงกฎกำลังอื่นๆ ในการคำนวณประมาณค่าอินทิกรัล สุทธิ และฟังก์ชันลอการิทึมด้วย

กฎกำลังคืออะไร?

กฎกำลังในการคำนวณอนุพันธ์ใช้ในการคำนวณอนุพันธ์ของสมการพหุนามที่มีค่ากำลัง เช่นถ้าสมการพหุนามเป็นรูปแบบ xn โดยที่ n เป็นจำนวนจริง เราสามารถใช้กฎกำลังในการคำนวณอนุพันธ์ได้ โดยสูตรค่าอนุพันธ์ของกฎกำลังนั้นเป็นการคูณกำลังด้วยสมการและลดกำลังลงไปอีก 1 ดังนั้น สูตรค่าอนุพันธ์ของ xn คือ nxn-1 ซึ่งนำไปใช้ได้กับกำลังบวกลบและเศษส่วนได้

สูตรกฎกำลัง

สูตรทั่วไปของกฎกำลังใช้สำหรับคำนวณอนุพันธ์ของ x ในรูปของกำลัง n คือ การคูณกำลังด้วย x และลดกำลังลงไปอีก 1 ดังนั้นสูตรทั่วไปของกฎกำลังคือ d(xn)/dx หรือ (xn)’ = nxn-1 โดยที่ n เป็นจำนวนจริง

การประยุกต์ใช้กฎกำลัง

กฎกำลังใช้ในการคำนวณอนุพันธ์ของสมการพหุนามที่มีค่ากำลังเป็นเครื่องหมายบวกลบหรือเศษส่วน เช่น การคำนวณอนุพันธ์ของหน่วยวัดเวลาที่เป็นเลขยกกำลังติดลบ การคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมและอินทิกรัลฯลฯ

การพิสูจน์กฎกำลัง

เราทราบสูตรของการคำนวณอนุพันธ์ด้วยกฎกำลังแล้ว ต่อมาเราจะพิสูจน์สูตรนี้โดยใช้วิธีต่างๆ โดยเราจะพิสูจน์สูตรทั่วไปของกฎกำลังโดยใช้หลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีไบโนเมียล

กฎกำลัง สูตร การพิสูจน์ และการประยุกต์ใช้

การพิสูจน์กฎกำลังโดยใช้หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

โดยใช้หลักการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ เราจะพิสูจน์สูตร d(xn)/dx = nxn-1 สำหรับค่าจำนวนเต็มบวกของ n โดยใช้ P(n) ที่บอกว่า d(xn)/dx = nxn-1 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยเราจะพิสูจน์โดยมีขั้นตอนดังต่อไปนี้

ขั้นตอนที่ 1: สมมุติว่า n = 1, จากนั้นเราจะมี LHS = dx/dx = 1 (เนื่องจากอนุพันธ์ของ x เท่ากับ 1) นอกจากนี้ RHS = 1.x1-1 = 1.x0 = 1 ดังนั้นเราจะได้ว่า LHS = RHS ดังนั้น P(1) เป็นจริง

ขั้นตอนที่ 2: สมมุติว่า P(k) เป็นจริง กล่าวคือ d(xk)/dx = kxk-1

ขั้นตอนที่ 3: พิสูจน์ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับ n = k+1 โดยที่เราต้องพิสูจน์ว่า d(xk+1)/dx = (k+1)xk

พิจารณา LHS = d(xk+1)/dx = d(xk.x)/dx — [โดยใช้ก

การพิสูจน์กฎกำลังโดยใช้ทฤษฎีไบโนเมียล

ในส่วนนี้เราจะพิสูจน์สูตรทั่วไปของกฎกำลังสำหรับการคำนวณอนุพันธ์โดยใช้สูตรทฤษฎีไบโนเมียล สูตรทฤษฎีไบโนเมียลกำหนดไว้ว่า (x + y)n = nC0 xn + nC1 xn-1 y + nC2 xn-2 y2 + nC3 xn-3 y3 + nC4 xn-4 y4 + … + nCn yn เราจะใช้หลักการของการคำนวณอนุพันธ์แบบหลักแรกในการพิสูจน์สูตรนี้ และด้วยเหตุนี้เราจะใช้สูตรไบโนเมียลในการไปสู่ผลลัพธ์ ตามหลักการแรก การคำนวณอนุพันธ์ของ f(x) = xn จะได้ว่า

f'(x) = limh→0 [(x + h)n – xn] / h

= limh→0 [(nC0 xn + nC1 xn-1 h + nC2 xn-2 h2 + nC3 xn-3 h3 + nC4 xn-4 h4 + … + nCn hn)- xn] / h

= limh→0 [nC1 xn-1 h + nC2 xn-2 h2 + nC3 xn-3 h3 + nC4 xn-4 h4 + … + nCn hn] / h

= limh→0 [nC1 xn-1 + nC2 xn-2 h + nC3 xn-3 h2 + nC4 xn-4 h3 + … + nCn hn-1] / h

= nxn-1

ดังนั้นเราได้พิสูจน์สูตรกฎกำลังสำหรับการคำนวณอนุพันธ์แบบเต็มเลขบวกของ n

การพิสูจน์สูตรกฎกำลังสำหรับเลขติดลบ

ต่อไปเราจะแยกตัวสูตรกฎกำลังสำหรับเลขติดลบ โดยสมมติว่า n = -m, ที่นี่ m เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น n คือเลขติดลบ ดังนั้น อนุพันธ์ของ xn จะได้ว่า

d(xn)/dx = d(x-m)/dx

READ: การหาสมการอนุพันธ์ชนิดที่เฉพาะเจาะจงในสมการอนุพันธ์ชนิด

= d(1/xm)/dx — [ใช้กฎกำลัง]

= [d(1)/dx × xm – d(xm)/dx] / (xm)2 — [ใช้กฎ Quotient Rule ของอนุพันธ์]

= [0 – mxm-1] / (xm)2

= – m xm-1 / x2m — [ใช้กฎกำลัง: (am)n = amn]

= -mxm-1-2m

= -mx-m-1

= nxn – 1 — [เนื่องจาก n = -m]

ดังนั้นสำหรับเลขติดลบทั้งหมด สูตรกฎกำลัง d(xn)/dx = nxn-1 เป็นจริง ในทางเดียวกัน เราสามารถใช้วิธีการอนุพันธ์แบบ implicit ในการพิสูจน์สูตรสำหรับเลขยกกำลังอย่างสมบูรณ์ได้อีกด้วย ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสูตร d(xn)/dx = nxn-1 เป็นจริงสำหรับเลขจำนวนจริง n ทั้งหมด

การนำสูตรกฎกำลังไปใช้

ในส่วนนี้เราจะเข้าใจวิธีการใช้สูตรกฎกำลังในการหาอนุพันธ์ของสมการพหุนาม (หรือพหุคณิต) ที่มีรูปแบบเป็น xn กัน

ให้พิจารณาตัวอย่าง f(x) = 3×4 – 2x-2 + x – 8 ดังนี้ เราจะหาอนุพันธ์ของ f(x) = 3×4 – 2x-2 + x – 8 โดยใช้สูตรกฎกำลัง ในสมการนี้ กำลังของ x เป็นเลขจำนวนบวกและลบ

เพื่อหาอนุพันธ์ของ f(x) = 3×4 – 2x-2 + x – 8 เราจะใช้ข้อว่า อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน นั่นคือ (u + v)’ = u’ + v’ ดังนั้น เราจะได้ว่า

f'(x) = d(3×4 – 2x-2 + x – 8)/dx

= d(3×4)/dx – d(2x-2)/dx + dx/dx – d(8)/dx

= 3d(x4)/dx – 2d(x-2)/dx + dx/dx – d(8×0)/dx — [เนื่องจาก d(af(x))/dx = ad(f(x))/dx; เราสามารถเขียน 1 ในรูปของ x0]

= 3 × 4×4-1 – 2 × (-2)x-2-1 + 1×1-1 – 0x0-1 — [ใช้สูตรกฎกำลังการหาอนุพันธ์]

= 12×3 + 4x-3 + 1×0 – 0

= 12×3 + 4x-3 + 1

ดังนั้น เราได้หาอนุพันธ์ของพหุนามที่มีรูปแบบ xn โดยใช้สูตรกฎกำลังแล้ว

ในตัวอย่างต่อไปนี้ จะพิจารณา

การใช้กฎเลขยกกำลัง (Power Rule) ในการหาอนุพันธ์

กฎเลขยกกำลัง (Power Rule) ใช้ในการหาอนุพันธ์ของสมการพหุนามที่มีเลขยกกำลัง ซึ่งหากมีสมการ xn โดยที่ n เป็นจำนวนจริง เราสามารถใช้กฎเลขยกกำลังเพื่อหาอนุพันธ์ของสมการดังกล่าวได้ ด้วยการคูณเลขยกกำลัง n ด้วยสมการและลดเลขยกกำลังลง 1 ดังนั้น สูตรอนุพันธ์แบบทั่วไปสำหรับกฎเลขยกกำลัง (Power Rule) คือ d(xn)/dx = nxn-1

การพิสูจน์กฎเลขยกกำลัง (Power Rule)

การพิสูจน์สูตรทั่วไปสำหรับกฎเลขยกกำลัง (Power Rule) สามารถใช้หลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์และสูตรของ Binomial Theorem ในการพิสูจน์ได้ โดยการใช้หลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์เราสามารถพิสูจน์สูตร d(xn)/dx = nxn-1 สำหรับค่าจำนวนเต็มบวกได้ และเราสามารถใช้วิธีการอนุมานแบบแม่นยำ เพื่อพิสูจน์สูตรสำหรับจำนวนเต็มลบได้เช่นกัน นอกจากนี้ เรายังสามารถใช้วิธีการอนุมานแบบไม่แน่นอนเพื่อพิสูจน์สูตรสำหรับเลขยกกำลังที่เป็นเศษส่วนได้อีกด้วย

คุณกำลังดู: กฎกำลัง – สูตร, การพิสูจน์, และการประยุกต์ใช้

กฎการหาอนุพันธ์แบบกำลัง

กฎการหาอนุพันธ์แบบกำลัง เป็นวิธีหาอนุพันธ์ที่ใช้เมื่อมีสมการทางคณิตศาสตร์ที่มีชี้กำลัง โดยใช้เมื่อเราได้รับสมการในรูปแบบ xn และต้องการหาอนุพันธ์ของมัน กฎว่า d/dx(xn) = nxn-1

สูตรทั่วไปสำหรับกฎการหาอนุพันธ์แบบกำลัง

สูตรสำหรับกฎการหาอนุพันธ์แบบกำลังคือ d(xn)/dx = nxn-1, โดยที่ n เป็นเลขจำนวนจริง สูตรนี้ช่วยหาอนุพันธ์ของสมการ xn และสามารถใช้หาอนุพันธ์ของโพลีโนมิและคำนวณรวมถึงสมการที่มีส่วนประกอบเหล่านี้

วิธีการหากฎการหาอนุพันธ์แบบกำลัง

เราสามารถหากฎการหาอนุพันธ์แบบกำลังโดยใช้หลักการของการอุทิศตัวเลขและทฤษฎีบทเทอร์มของไบนอมิアล้วนกับหลักการอนุพันธ์รูปแบบแรก นอกจากนี้เรายังสามารถทำให้สูตรกฎการหาอนุพันธ์แบบกำลังกับเลขยกกำลังเชิงอ理ระหว่าง และเลขลบโดยใช้สูตรสำหรับเลขจำนวนเต็มบวก