กระบวนการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมีชื่อเรียกว่าการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมากกว่าเพราะการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณคือการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันเมื่อเทียบกับตัวแปร ฟังก์ชันตรีโกณทั้งหกฟังก์ชันพื้นฐานมีสูตรอนุพันธ์ที่สามารถนำไปใช้ในการแก้ปัญหาแอปพลิเคชันต่าง ๆ ของอนุพันธ์

ฟังก์ชันตรีโกณพื้นฐานทั้งหกประกอบด้วย ซีน (sin x) โคซิน (cos x) แทนเจนต์ (tan x) คอทแทนเจนต์ (cot x) ซีกันท์ (sec x) และโคซีแคนท์ (cosec x) ในบทความนี้ เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณและพิสูจน์ของพวกเขา การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณนั้นมีประโยชน์ในด้านต่าง ๆ เช่น อิเล็กทรอนิกส์ โปรแกรมคอมพิวเตอร์และการจำลองฟังก์ชันวงจรต่าง ๆ

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณคืออะไร?

ในวิชาตรีโกณมีกระบวนการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณ ซึ่งเป็นกระบวนการคณิตศาสตร์ในการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันตรีโกณเมื่อเทียบกับมุมตัวแปร การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณสามารถทำได้โดยใช้สูตรอนุพันธ์ของ sin x และ cos x โดยการนำหลักการส่วนเศษ (quotient rule) มาใช้งาน

สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณพื้นฐาน

สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณพื้นฐานทั้งหกมีดังนี้:

อนุพันธ์ของ sin x: (sin x)’ = cos x
อนุพันธ์ของ cos x: (cos x)’ = -sin x
อนุพันธ์ของ tan x: (tan x)’ = sec2 x
อนุพันธ์ของ cot x: (cot x)’ = -cosec2 x
อนุพันธ์ของ sec x: (sec x)’ = sec x.tan x
อนุพันธ์ของ cosec x: (cosec x)’ = -cosec x.cot x

เราใช้ d/dx เพื่อเขียนสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ ดังนั้นสามารถเขียนอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณแบบนี้ได้

คุณกำลังดู: การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทริกโนเมตริก – อนุพันธ์ทริกในคณิตศาสตร์

พิสูจน์อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณ

ตอนนี้ที่เรามีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณ (sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, cosec x) แล้ว เราจะพิสูจน์และหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณโดยใช้วิธีต่าง ๆ เช่น กฎหารือส่วน (quotient rule) กฎหารึกคณิต (first principle of differentiation) และกฎสาย (chain rule) รวมถึงสูตรขอบเขต (limit formulas)

อนุพันธ์ของ sin x

เราจะหาอนุพันธ์ของ sin x โดยใช้กฎหารึกคณิต (first principle of differentiation) หรือใช้ความหมายของขอบเขต ดังนี้

เพื่อหาอนุพันธ์ของ sin x เราจะใช้สูตรขอบเขตและสูตรตรีโกณมาดัดแปลงได้ดังนี้

sin (A+B) = sin A cos B + sin B cos A
\(\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\cos x -1}{x} = 0\)
\(\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\)

ดังนั้น เราจะหาอนุพันธ์ของ sin x ได้ดังนี้

(\begin{align}\frac{\mathrm{d} (\sin x)}{\mathrm{d} x} &= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\sin (x + h)-\sin x}{(x+h)-x} \&= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\sin x \cos h +\cos x \sin h-\sin x}{h}\&=\lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\cos h -1 }{h}\sin x + \dfrac{\sin h}{h}\cos x\&=(0)\sin x + (1)\cos x\&=\cos x\end{align})

ดังนั้น อนุพันธ์ของ sin x เท่ากับ cos x นั่นเอง

อนุพันธ์ของ tan x

เราจะหาอนุพันธ์ของ tan x โดยใช้กฎหารือส่วน (quotient rule) ดังนี้

เพื่อหาอนุพันธ์ของ tan x เราจะใช้สูตรตรีโกณและสูตรอื่น ๆ เพื่อคำนวณอนุพันธ์ได้ดังนี้

(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
tan x = sin x/ cos x
cos2x + sin2x = 1
sec x = 1/cos x

(\begin{align}(tan x)’ &= \dfrac{(sin x/ cos x)’}{1 + (tan x)^2}\&= \dfrac{(cos x cos x – (-sin x) sin x)/ cos^2 x}{1 + (sin x/ cos x)^2}\&= \dfrac{(cos^2 x + sin^2 x)/ cos^2 x}{1 + sin^2 x/ cos^2 x}\&= \dfrac{1}{cos^2 x}\&= sec^2 x\end{align})

READ: สูตร Sin A - Sin B, การพิสูจน์

ดังนั้น อนุพันธ์ของ tan x เท่ากับ sec2x นั่นเอง

อนุพันธ์ของ cot x

เราจะหาอนุพันธ์ของ cot x โดยใช้กฎหารือส่วน (quotient rule) ดังนี้

เพื่อหาอนุพันธ์ของ cot x เราจะใช้สูตรตรีโกณและสูตรอื่น ๆ เพื่อคำนวณอนุพันธ์ได้ดังนี้

(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
cot x = cos x/ sin x
cos2x + sin2x = 1
cosec x = 1/sin x

(\begin{align}(cot x)’ &= \dfrac{(cos x/ sin x)’}{1 + (cot x)^2}\&= \dfrac{(-sin x sin x – cos x cos x)/ sin^2 x}{1 + (cos x/ sin x)^2}\&= \dfrac{-sin^2 x – cos^2 x}{sin^2 x(1 + cos^2 x/ sin^2 x)}\&= \dfrac{-1}{sin^2 x}\&= -cosec^2 x\end{align})

อนุพันธ์ของ sec x

เราจะหาอนุพันธ์ของ sec x โดยใช้กฎของเชน (chain rule) ดังนี้

เพื่อหาอนุพันธ์ของ sec x เราจะใช้สูตรตรีโกณและสูตรอื่น ๆ เพื่อคำนวณอนุพันธ์ได้ดังนี้

sec x = 1/cos x
tan x = sin x/ cos x
(cos x)’ = -sin x

(\begin{align}(sec x)’ &= \dfrac{(1/cos x)’}{(cos x)’}\&= \dfrac{(-1/cos^2 x).(-sin x)}{-sin x}\&= \dfrac{sin x}{cos^2 x}\&= \dfrac{sin x}{cos x} \cdot \dfrac{1}{cos x}\&= tan x sec x\end{align})

ดังนั้น อนุพันธ์ของ sec x เท่ากับ tan x sec x นั่นเอง

อนุพันธ์ของ cosec x

เราจะหาอนุพันธ์ของ cosec x โดยใช้กฎของเชน (chain rule) ดังนี้

เพื่อหาอนุพันธ์ของ cosec x เราจะใช้สูตรตรีโกณและสูตรอื่น ๆ เพื่อคำนวณอนุพันธ์ได้ดังนี้

cosec x = 1/sin x
cot x = cos x/ sin x
(sin x)’ = cos x

(\begin{align}(cosec x)’ &= \dfrac{(1/sin x)’}{(sin x)’}\&= \dfrac{(-1/sin^2 x).(cos x)}{cos x}\&= \dfrac{-cos x}{sin^2 x}\&= \dfrac{-cos x}{sin x} \cdot \dfrac{1}{sin x}\&= -cot x cosec x\end{align})

ดังนั้น อนุพันธ์ของ cosec x เท่ากับ -cot x cosec x นั่นเอง

แหล่งอ้างอิง: https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_of_trigonometric_functions

การประยุกต์ใช้อนุพันธ์ของฟังก์ชันไตรโกณ

การประยุกต์ใช้อนุพันธ์ของฟังก์ชันไตรโกณมีการใช้ในหลายด้านของคณิตศาสตร์และชีวิตจริง รายการบางส่วนได้แก่

ใช้เพื่อหาค่าความชันของเส้นตรงทางตั้ง (tangent line) บนเส้นโค้งไตรโกณ y = f(x)
ใช้เพื่อหาค่าความชันของเส้นปกติ (normal line) บนเส้นโค้งไตรโกณ y = f(x)
ช่วยในการหาสมการของเส้นตรงทางตั้งหรือเส้นปกติของเส้นโค้ง
การประยุกต์ใช้อนุพันธ์ของฟังก์ชันไตรโกณมีการใช้ในหลายสาขา เช่น อิเล็กทรอนิกส์ โปรแกรมคอมพิวเตอร์ และโมเดลฟังก์ชันเชิงวงจรต่าง ๆ
ใช้การอนุพันธ์ของฟังก์ชันไตรโกณเพื่อหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันที่กำหนด

การอนุพันธ์ของฟังก์ชันไตรโกณกลับ

การอนุพันธ์ของฟังก์ชันไตรโกณกลับทำโดยการกำหนดฟังก์ชันเท่ากับ y แล้วนำไปใช้การอนุพันธ์อิมพลิชิต (implicit differentiation) ดังนี้

เราจะระบุอนุพันธ์ของฟังก์ชันไตรโกณกลับพร้อมโดเมน (arcsin x, arccos x, arctan x, arccot x, arcsec x, arccose

การหาประสิทธิภาพต่อเนื่องของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การหาผลต่างกลับของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การหาผลต่างกลับของฟังก์ชันตรีโกณมิติคือกระบวนการที่กลับกันของการหาผลตัวอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ กระบวนการนี้ยังเรียกว่าการหาอินทิเกรชันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ