การแยกตัวประกอบลูกศรสามชั้น – นิยาม, กฎ, วิธีการ, สูตร, และตัวอย่าง

การแยกปัดสามเหลี่ยมหมายถึงการเขียนสมการให้อยู่ในรูปผลคูณของไบโนเมียลสองอย่างหรือมากกว่า โดยเขียนในรูป (x+m)(x+n) ไบโนเมียลคือสมการพหุนามสองช่อง ในขณะที่สามเหลี่ยมคือสมการพหุนามสามช่อง การแยกปัดสามเหลี่ยมเกิดจากการแบ่งออกเป็นไบโนเมียลที่สามารถคูณกลับมาเป็นสามเหลี่ยมได้ เรามาเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการแยกปัดสามเหลี่ยม วิธีการต่างๆ และแก้ไขตัวอย่างเพื่อเข้าใจแนวคิดได้ดีขึ้น

การแยกปัดสามเหลี่ยมคืออะไร?

การแยกปัดสามเหลี่ยมคือการแปลงสมการพหุนามจากสมการสามช่องเป็นสมการสองช่อง สมการสามช่องเป็นพหุนามที่มีสามสมการ ด้วยสูตรทั่วไปเป็น ax2 + bx + c โดยที่ a และ b เป็นตัวคูณ และ c เป็นค่าคงที่

ขั้นตอนการแยกปัดสามเหลี่ยม

1. ระบุค่าของ b (สมการกลาง) และ c (สมการสุดท้าย)
2. หาจำนวนสองตัวที่บวกกันได้เท่ากับ b และคูณกันได้เท่ากับ c
3. นำจำนวนสองตัวที่หาได้มาแยกปัดเพื่อให้ได้ผลลัพธ์

สองจำนวนเต็ม เช่น r และ s ถือว่าเป็นตัวแยกปัดสามเหลี่ยมที่มีผลบวกเท่ากับ b และผลคูณเท่ากับ ac จากนั้นเราสามารถเขียนสมการสามช่องเป็น ax2 + rx + sx + c แล้วใช้การจัดกลุ่มและคุณสมบัติการกระจายเพื่อแยกปัดพหุนาม หลังจากที่สมการสามช่องผ่านกระบวนการแยกปัดแล้ว จะเป็นสมการสองช่องในรูปแบบ (x + r) (x + s) ดังตัวอย่างภาพที่แนบมาด้านล่างนี

สรุป

การแยกปัดสามเหลี่ยมคือการแปลงสมการพหุนามจากสมการสามช่องเป็นสมการสองช่อง โดยมีขั้นตอนการแยกปัดท

กฎการแยกปัดสามเหลี่ยม

ในการแยกปัดสามเหลี่ยม จะมีจุดหรือกฎเฉพาะที่จำเป็นต้องจำ ซึ่งกฎเหล่านี้จะใช้ตามเครื่องหมายคณิตศาสตร์ เช่น (+) และ (-) ซึ่งเป็นสิ่งที่สำคัญในการแยกปัดสามเหลี่ยมและทำให้การแยกปัดสามเหลี่ยมง่ายขึ้น

กฎเฉพาะในการแยกปัดสามเหลี่ยม

• หากทุกๆ สมการของสามเหลี่ยมเป็นเลขบวก จะทำให้ทุกๆ สมการของไบโนเมียลเป็นเลขบวกด้วย
• หากสมการสุดท้ายของสามเหลี่ยมเป็นเลขลบ แต่สมการกลางและสมการอันแรกเป็นเลขบวก จะทำให้ไบโนเมียลมีหนึ่งส่วนเป็นเลขลบและอีกส่วนเป็นเลขบวก (ตัวปัจจัยที่มากกว่าจะเป็นเลขบวกและตัวปัจจัยที่น้อยกว่าจะเป็นเลขลบ)
• หากสมการกลางและสมการสุดท้ายของสามเหลี่ยมเป็นเลขลบ แต่สมการอันแรกเป็นเลขบวก จะทำให้ไบโนเมียลมีหนึ่งส่วนเป็นเลขบวกและอีกส่วนเป็นเลขลบ (ตัวปัจจัยที่มากกว่าจะเป็นเลขลบและตัวปัจจัยที่น้อยกว่าจะเป็นเลขบวก)
• หากสมการสุดท้ายและสมการอันแรกของสามเหลี่ยมเป็นเลขบวก แต่สมการกลาง

วิธีการแยกปัดสามเหลี่ยม

การแยกปัดสามเหลี่ยมหมายถึงการเปลี่ยนสมการเป็นผลคูณของไบโนเมียลสองช่องหรือมากกว่า โดยเขียนในรูป (x + m) (x + n) สามเหลี่ยมสามารถแยกปัดได้ในหลายรูปแบบ มาเรียนรู้แต่ละกรณีกันเลย

สูตรสามเหลี่ยมกำลังสองในตัวแปรเดียว

สูตรทั่วไปของสามเหลี่ยมกำลังสองในตัวแปรเดียวมีรูปแบบเป็น ax2 + bx + c โดยที่ a, b, c เป็นค่าคงที่และไม่มีค่าใดเป็นศูนย์ สำหรับค่าของ a, b, c หาก b2 – 4ac > 0 จะสามารถแยกปัดสามเหลี่ยมกำลังสองในตัวแปรเดียวได้เสมอ ซึ่งหมายความว่า ax2 + bx + c = a(x + h)(x + k) โดยที่ h และ k เป็นจำนวนจริง เรามาเรียนรู้วิธีการแยกปัดสามเหลี่ยมกำลังสองในตัวแปรเดียวด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง: แยกปัดสามเหลี่ยม 3×2 – 4x – 4

วิธีแก้ไข:

• ขั้นตอนที่ 1: คูณตัวเลข a และ c เข้าด้วยกัน
• 3 × -4 = -12
• ขั้นตอนที่ 2: แบ่งส่วนของเทอมกลาง -4x เพื่อให้ได้ผลคูณเป็น -12 (ที่ได้จากขั้นตอนแรก)
• -4x = -6x + 2x
• -6 × 2 = -12
• ขั้นตอนท

สามเหลี่ยมกำลังสองในสองตัวแปร

ไม่มีวิธีการแก้ไขสามเหลี่ยมกำลังสองในสองตัวแปรที่เฉพาะเจาะจง มาดูตัวอย่างกันเถอะ

คุณกำลังดู: การแยกตัวประกอบลูกศรสามชั้น – นิยาม, กฎ, วิธีการ, สูตร, และตัวอย่าง

ตัวอย่าง: แยกปัดสามเหลี่ยม x2 + 3xy + 2y2

วิธีแก้ไข:

• ขั้นตอนที่ 1: สามเหลี่ยมชนิดนี้ก็จะตามกฎเหมือนกันกับตัวอย่างข้างบน คือเราต้องแยกเทอมกลาง
• x2 + 3xy + 2y2 = x2 + 2xy + xy + 2y2
• ขั้นตอนที่ 2: ทำให้สมการเป็นรูปแบบง่าย ๆ และดึงออกจำนวนหรือส่วนที่เหมือนกัน
• x2 + 2xy + xy + 2y2 = x (x + 2y) + y (x + 2y)
• ขั้นตอนที่ 3: ดึง (x + 2y) อีกครั้งจากสองเทอม
• x (x + 2y) + y (x + 2y) = (x + y) (x + 2y)
• ดังนั้น (x + y) และ (x + 2y) เป็นตัวปัดของ x2 + 3xy + 2y2

หากสามเหลี่ยมเป็นอิสระ

มาดูบางสูตรทางคณิตศาสตร์ที่ถูกกล่าวไว้ในตารางด้านล่างนี้:

สูตร	รูปแบบขยาย
(x + y)2	x2 + 2xy + y2
(x – y)2	x2 – 2xy + y2
x2 – y2	(x + y) (x – y)

Leading coefficient เป็น 1

มาดูตัวอย่างกันเถอะ

ตัวอย่าง: แยกปัด x2 + 7x + 12

วิธีแก้ไข:

• ขั้นตอนที่ 1: เปรียบเทียบสมการที่กำหนดไว้กับรูปแบบมาตรฐานเพื่อรับค่าผลตัวคูณ
• ax2 + bx + c เป็นรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้น ในการเปรียบเทียบสมการ x2 + 7x + 12 จะได้ a = 1, b = 7, และ c = 12
• ขั้นตอนที่ 2: หาคู่ตัวคูณของ c นั่นคือ 12 ซึ่งผลรวมของเขาเท่ากับ b นั่นคือ 7
• คู่ตัวคูณของ 12 คือ (1, 12), (2, 6), และ (3, 4) ดังนั้นคู่ที่เหมาะสมคือ 3 และ 4
• ขั้นตอนที่ 3: เพิ่มแต่ละตัวเลขใน x แยกกัน
• (x + 3) (x + 4)
• ดังนั้น (x + 3) (x + 4) เป็นตัวปัดของ x2 + 7x + 12

แยกปัดโดยใช้ GCF

เมื่อต้องแยกปัดตัวประกอบและตัวคูณใหญ่ไม่เท่ากับ 1 แนวคิดของ GCF (Greatest Common Factor) จะถูกนำมาใช้ มาดูขั้นตอนกัน:

1. เขียนสมการตัวประกอบลำดับจากมากไปน้อยตามกำลัง
2. หา GCF โดยการแยกปัด
3. หาผลคูณระหว่างค่าคงที่ที่นำหน้า ‘a’ กับค่าคงที่ ‘c’
4. หาคู่ตัวคูณของผลคูณ ‘a’ และ ‘c’ ที่ผลรวมของเขาเท่ากับตัวเลขแทน ‘b’
5. แทนที่ข้อความเดิมด้วยการแทนที่ข้อความ “bx” ด้วยคู่ที่เลือก
6. แยกปัดสมการโดยการจัดกลุ่ม

กรณีมีสัญลักษณ์ลบ

ในบางสถานการณ์ a จะเป็นค่าลบเช่น −ax2 + bx + c เพื่อทำให้การแยกปัดของ trinomial ง่ายขึ้น เราจะแยก −1 ออกจาก ax2 เป็นขั้นตอนแรกแล้วแยกปัดส่วนที่เหลือ มาดูตัวอย่างกัน

ตัวอย่าง: แยกปัด -4×2 – 8x – 3

วิธีแก้ไข:

1. ขั้นตอนที่ 1: แยก -1 จากสมการซึ่งจะเปลี่ยนเครื่องหมายของสมการทั้งหมด
2. -1 (4×2 + 8x + 3)
3. ขั้นตอนที่ 2: คูณสมการแรกและสมการคงที่
4. 4 × 3 = 12
5. ขั้นตอนที่ 3: แยกแต่ละตัวกลาง 8x ด้วยตัวเลขท

สูตรการแยกปัจจัยสามตัว (Factoring Trinomial Formula)

สูตรสำหรับตัวเลขจำนวนเต็มสองตัว (Perfect Square Trinomial)

สูตรการแยกปัจจัยสามตัวสำหรับตัวเลขจำนวนเต็มสองตัวที่เป็น perfect square trinomial คือ

• a² + 2ab + b² = (a + b)²
• a² – 2ab + b² = (a – b)²

สำหรับการใช้สูตรเหล่านี้ ตัวเลขจำนวนเต็มสามตัวจะต้องอยู่ในรูปของ a² + 2ab + b² หรือ a² – 2ab + b²

ขั้นตอนวิธีการแยกปัจจัยสามตัว (Process of Factoring Trinomial)

สำหรับตัวเลขจำนวนเต็มสามตัวที่ไม่ใช่ perfect square trinomial เราไม่มีสูตรการแยกปัจจัยใดๆ แต่เรามีกระบวนการ

1. ขั้นตอนที่ 1: หาผลคูณของ a และ c และหาค่า b
2. ขั้นตอนที่ 2: หาเลขสองจำนวนที่มีผลคูณเท่ากับ ac และผลรวมเท่ากับ b
3. ขั้นตอนที่ 3: แยกค่ากลางเป็นผลรวมของสองเลขจากขั้นตอนที่ 2
4. ขั้นตอนที่ 4: แยกปัจจัยโดยการจัดกลุ่มตามลำดับที่เหมาะสม

เราสามารถใช้สูตรต่อไปนี้ในการแยกปัจจัยสามตัว (Factorizing Trinomial) ของตัวเลขจำนวนเต็มสามตัวไ

แหล่งอ้างอิง: https://en.wikipedia.org/wiki/Factorization