ฟักชั่นส่วนบาง (Partial Fractions) คือเศษส่วนที่เกิดขึ้นเมื่อส่วนสมการสัมพันธ์ที่ซับซ้อนถูกแบ่งเป็นส่วนย่อยๆ ทั่วไปแล้ว เมื่อมีส่วนสมการที่มีตัวแทนพีชคณิตศาสตร์เข้ามา มักจะยากในการแก้ปัญหา ดังนั้น เราจะใช้แนวคิดของฟักชั่นส่วนบางเพื่อแบ่งเศษส่วนเหล่านั้นเป็นหลายๆ เศษส่วนที่ง่ายขึ้นในการแก้ปัญหา เมื่อแตกต่างกัน ทั่วไปแล้ว ตัวหารจะเป็นตัวแทนพีชคณิตศาสตร์ และส่วนนี้จะถูกแยกตัวเป็นตัวอย่างน้อยสองเศษส่วน ซึ่งในการแยกตัว ตัวหารจะถูกแยกตัวอย่างต่อเนื่องในการสร้างฟักชั่นส่วนบาง ฟักชั่นส่วนบางเป็นการย้อนกลับของกระบวนการบวกส่วนสมการของตัวแทนพีชคณิตศาสตร์ ในกระบวนการปกติ เราจะทำการปฏิบัติการทางคณิตศาสตร์กับเศษส่วนพีชคณิตศาสตร์เพื่อให้ได้ส่วนสมการเดียวกัน แต่เมื่อนำส่วนสมการนี้มาแยกตัวเป็นตัวอย่างย้อนกลับ จะต้องผ่านกระบวนการแยกตัวของฟักชั่นส่วนบาง ที่จะส่งผลให้เกิดฟักชั่นส่วนย่อยๆ ออกมา ขอเชิญศึกษาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟัก

ฟักชั่นส่วนบางคืออะไร?

ฟักชั่นส่วนบาง (Partial Fractions) คือเศษส่วนของสมการสัมพันธ์ที่เกิดจากการแบ่งส่วนของสมการพีชคณิตศาสตร์ออกเป็นสองหรือมากกว่าสองส่วนสมการพีชคณิตศาสตร์ ส่วนสมการพีชคณิตศาสตร์ที่เป็นส่วนหนึ่งในการแบ่งนี้ จะเรียกว่าเป็นฟักชั่นส่วนบาง (partial fraction) ซึ่งเป็นกระบวนการแยกสมการพีชคณิตศาสตร์ที่กำหนดเองออกเป็นหลายๆ เศษส่วน

การแยกส่วนบางส่วน การแยกออกเป็นส่วนย่อย สูตร และวิธีการ

การแยกส่วนเศษส่วน

เพื่อที่จะแยกส่วนเศษส่วน ตัวหารของสมการพีชคณิตศาสตร์จะต้องถูกแยกตัวเป็นตัวอย่างน้อยสองส่วน ซึ่งจะช่วยให้การแยกสมการพีชคณิตศาสตร์ออกเป็นเศษส่วนเป็นไปได้อย่างง่ายดายขึ้น แต่ละตัวหารของสมการพีชคณิตศาสตร์จะมีเศษส่วนพีชคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับตัวหารแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น ในภาพด้านบน (4x + 1)/[(x + 1)(x – 2)] มีตัวหารสองตัว ดังนั้นจะมีฟักชั่นส่วนบางสองตัว โดยตัวหนึ่งจะมีตัวหาร (x + 1) และตัวหนึ่งจะมีตัวหาร (x – 2)

สูตรฟักชั่นส่วนบาง

ในตัวอย่างด้านบน ตัวตั้งของฟักชั่นส่วนบางมีค่าเท่ากับ 1 และ 3 ซึ่งตัวตั้งของฟักชั่นส่วนบางไม่ได้เป็นค่าคงที่เสมอไป หากตัวหารเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ตัวตั้งจะเป็นค่าคงที่ และหากตัวหารเป็นสมการกำลังสอง ตัวตั้งจะเป็นสมการเชิงเส้น นั่นหมายความว่า ดีกรีของตัวตั้งฟักชั่นส่วนบางจะมีมากกว่าดีกรีของตัวหารอย่างน้อยหนึ่ง นอกจากนี้ สมการพีชคณิตศาสตร์ต้องเป็นเศษส่วนเหมาะสมเพื่อที่จะแยกเป็นฟักชั่นส่วนบางได้ ตารางต่อไปนี้แสดงสูตรฟักชั่นส่วนบาง (ที่นี่ ตัวแปรทั้งหมดนอกเหนือจาก x เป็นค่าคงที่)

ประเภท	สูตรสมการเศษส่วน	ฟักชั่นส่วนบาง
ตัวหารเชิงเส้นไม่ซ้ำกัน	(px + q)/(ax + b)	A/(ax + b)
ตัวหารเชิงเส้นซ้ำกัน	(px + q)/(ax + b)ⁿ	A₁/(ax + b) + A₂/(ax + b)² + ………. A_n/(ax + b)ⁿ
ตัวหารเชิงกำลังสองไม่ซ้ำกัน

การแยกเป็นฟักชั่นส่วนบาง

การแยกเป็นฟักชั่นส่วนบาง (Partial Fraction Decomposition) คือกระบวนการเขียนสมการพีชคณิตศาสตร์เป็นผลรวมของสองหรือมากกว่าสองฟักชั่นส่วนบาง ขั้นตอนต่อไปนี้จะช่วยให้เข้าใจกระบวนการแยกสมการพีชคณิตศาสตร์ออกเป็นฟักชั่นส่วนบางได้อย่างชัดเจนขึ้น

ขั้นตอน

ตัดตัวตั้งและตัวหารเป็นตัวประกอบและตัวส่วนของสมการพีชคณิตศาสตร์และทำให้สมการพีชคณิตศาสตร์เป็นเศษส่วนเหมาะสมก่อนที่จะแยกเป็นฟักชั่นส่วนบาง
แยกสมการพีชคณิตศาสตร์ตามสูตรฟักชั่นส่วนบาง เช่น P/((ax + b)2 = [A/(ax + b)] + [B/(ax + b)2] จะมีสูตรฟักชั่นส่วนบางที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับสมการตัวตั้งและตัวหาร
หา LCM ของตัวประกอบของตัวหารของฟักชั่นส่วนบาง และคูณทั้งสองด้านของสมการด้วย LCM นี้
ปรับปรุงและหาค่า A และ B โดยเปรียบเทียบค่าเชิงเลขของช่องเดียวกันในสองด้านของสมการ
แทนค่าคงที่ A และ B ในด้านขวาของสมการเพื่อหาฟักชั่นส่วนบาง

ของมาตรฐาน

จำไว้เสมอว่าต้องแยกตัวหารให้มากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ก่อนที่จะแยกเป็นฟักชั่นส่วนบาง (Partial Fraction Decomposition) (4x + 12)/(x2 + 4x) = (4x + 12)/[x(x + 4)] ในกรณีนี้ ตัวหารมีตัวประกอบเชิงเลขเชิงเดียวกัน ดังนั้น แต่ละตัวประกอบจะสอดคล้องกับค่าคงที่ในตัวเศษเมื่อเขียนเป็นฟักชั่นส่วนบาง

เราสามารถสมมติได้ว่า: (4x + 12)/[(x)(x + 4)] = [A/x] + [B/(x + 4)] → (1)

ทำการหา LCM (Least Common Denominator) ของผลรวม (ด้านขวา) คือ x(x + 4) และคูณทั้งสองด้านของสมการด้วย x(x + 4) เราจะได้ 4x + 12 = A(x + 4) + Bx → (2)

ต่อมาเราต้องหาค่า A และ B โดยการตั้งค่าแต่ละตัวประกอบเป็นศูนย์

แทนค่า x + 4 = 0 หรือ x = -4 ใน (2): 4(-4) + 12 = A(0) + B(-4); -4 = -4B; B = 1

แทนค่า x = 0 ใน (2): 4(0) + 12 = A(0 + 4) + B(0); 12 = 4A; A = 3

แทนค่าคงที่ A และ B ใน (1) เราจะได้ฟักชั่นส่วนบางของสมการเดิม ดังนี้ (4x + 12)/[x(x + 4)] = [3/x] + [1/(x + 4)]

แหล่งอ้างอิง: https://en.wikipedia.org/wiki/Partial_fraction_decomposition

เคล็ดลับและเทคนิคในการแยกเป็นฟักชั่นส่วนบาง

เคล็ดลับต่อไปนี้จะช่วย

ฟักชั่นส่วนบางของเศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง

เมื่อเราต้องการแยกฟักชั่นส่วนบางของเศษส่วนที่ไม่ถูกต้อง (Improper Fraction) เราควรทำการหารเอาเศษก่อน การหารเอาเศษจะช่วยให้ได้จำนวนเต็มและเศษส่วนที่ถูกต้อง จำนวนเต็มคือเหตุผลในการหารเอาเศษส่วน และเศษส่วนก็คือเศษจากการหาร โดยเศษจะเป็นตัวเศษส่วนของจำนวนเต็ม และตัวส่วนของเศษจะเป็นตัวเศษส่วนของตัวหาร รูปแบบของผลการหารเอาเศษจะเป็น จำนวนเต็ม + เศษส่วน/ตัวหาร อย่างไรก็ตาม ในขั้นตอนต่อไป เราจะใช้ตัวอย่างเพื่ออธิบายให้เข้าใจมากขึ้น

READ: รากที่สามของ 8? วิธีการหารากที่สามของ 8?

ตัวอย่าง: หาฟักชั่นส่วนบางของเศษส่วน (x3 +4×2 – 2x – 5)/(x2 – 4x + 4)

วิธีการแก้ปัญหา: ในกรณีนี้ ดีกรีของตัวตั้ง (3) มากกว่าดีกรีของตัวหาร (2) ดังนั้นเราต้องทำการหารเอาเศษก่อน

จากนั้นเขียนเศษส่วนไม่ถูกต้องเป็น จำนวนเต็ม + เศษส่วน/ตัวหาร จะได้: (x3 + 4×2 – 2x – 5)/(x2 – 4x + 4) = x + 8 + (26x – 37)/(x2- 4x + 4)

ในกรณีนี้ เศษส่วนทางขวาเป็

วิธีการใช้วิธีเศษส่วน

เศษส่วนคืออะไร

เศษส่วนคือผลลัพธ์จากการเขียนส่วนประกอบของส่วนสัมพันธ์เป็นผลรวมของส่วนประกอบสองหรือมากกว่าสองส่วนประกอบ วิธีการทำให้ง่ายขึ้นคือแยกส่วนสัมพันธ์เป็นปัจจัยที่เป็นไปได้สำหรับตัวเศษตัวหาร จากนั้นแบ่งส่วนสัมพันธ์เป็นเศษส่วนส่วนตามสูตรที่เหมาะสม สูตรสำหรับเศษส่วนบางส่วนขึ้นอยู่กับจำนวนปัจจัยและดีกรีของตัวหารของส่วนสัมพันธ์ จากนั้นหาค่าคงที่ที่เป็นไปตามความต้องการเพื่อแก้ปัญหาเศษส่วน

ขั้นตอนการแยกเศษส่วน

การแยกเศษส่วนประกอบไปในขั้นตอนง่ายๆ ทำได้ดังนี้

ขั้นตอนที่ 1: แยกเศษส่วนตามสูตรสำหรับแยกเศษส่วนโดยพึงพอใจจำนวนองค์ประกอบของตัวหาร

ขั้นตอนแรกคือแยกส่วนสัมพันธ์ตามสูตรสำหรับแยกเศษส่วน โดยพึงพอใจจำนวนองค์ประกอบของตัวหาร

ขั้นตอนที่ 2: หาหรมสมบูรณ์ของตัวหาร และคูณทั้งสองด้านด้วยหรมสมบูรณ์นั้น

คุณกำลังดู: การแยกส่วนบางส่วน – การแยกออกเป็นส่วนย่อย, สูตร, และวิธีการ

ประเภทตัวหารของเศษส่วนบางส่วน

ประเภทตัวหารที่แตกต่างกันในเศษส่วนบางส่วน

ประเภทตัวหารที่แตกต่างกันในเศษส่วนบางส่วนจะขึ้นอยู่กับจำนวนปัจจัยของส่วนหารและดีกรีขององค์ประกอบในตัวหาร เช่น P/(ax + b), P/[(ax + b)(cx + d)], P/(ax + b)2, P/(ax + b)3, P/(ax + b)n

วิธีการบวกเศษส่วนบางส่วน

วิธีการรวมเศษส่วนบางส่วน

เมื่อเขียนส่วนประกอบเป็นผลรวมของเศษส่วน คุณสามารถทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

ดีกรีของเศษส่วนตัวหารมีจำนวนประกอบที่น้อยลงทุกครั้งที่มีการเพิ่มเศษส่วนใหม่
เมื่อมีปัจจัยซ้ำของเศษส่วนเช่น (ax + b)n (หรือ) (ax2 + bx + c)n จะมีเศษส่วนต่างๆ จำนวน n แยกตามดีกรีของตัวหารของเศษส่วนนั้นๆ ซึ่งมีดีกรีเท่ากับ 1, 2, 3, …, n

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูในส่วน “สูตรทั่วไปของเศษส่วนบางส่วน” ของหน้านี้ ในการรวมเศษส่วนบางส่วน เราจะทำให้ตัวหารเป็นเหมือนกันและรวมกัน

ตัวอย่างเช่น: 3/x + 1/(x + 4) = 3/x

วิธีการแก้ไขเศษส่วนบางส่วนที่มีรากที่ซ้ำกัน

เศษส่วนบางส่วนที่มีปัจจัยที่ซ้ำกัน

เมื่อเศษส่วนบางส่วนมีปัจจัยที่ซ้ำกัน เช่น (ax+b)n หรือ (ax2+bx+c)n จะมีเศษส่วนบางส่วนที่แตกต่างกัน n อย่างที่มีตัวหารของเศษส่วนบางส่วนที่มีเลขยกกำลังเป็น 1, 2, 3, …, n

ตัวอย่างเช่น หากตัวหารมีรูปแบบเป็น (ax+b)n แล้วเศษส่วนบางส่วนที่เป็นไปได้ควรเป็นรูปแบบ A1/(ax + b) + A2/(ax + b)2 + ………. An/(ax + b)n

วิธีการใช้การแยกเศษส่วนบางส่วน

เมื่อควรใช้การแยกเศษส่วนบางส่วน

การแยกเศษส่วนบางส่วนจะใช้เมื่อตัวหารของเศษส่วนเป็นสมการพหุนาม และเมื่อมีความจำเป็นที่จะแยกส่วนสัมพันธ์ นอกจากนี้ยังควรมีโอกาสในการได้รับอย่างน้อยสองปัจจัยสำหรับสมการพหุนามในตัวหาร

สูตรสำหรับแก้ไขเศษส่วนบางส่วนประเภทต่างๆ

ประเภทของเศษส่วนบางส่วนขึ้นอยู่กับจำนวนปัจจัยที่เป็นไปได้ของตัวหารและดีกรีของตัวหาร โดยสามารถแบ่งออกเป็นประเภททั้งหมด

เศษส่วนบางส่วนเป็นเศษส่วนส่วนหนึ่งหรือไม่?

การแยกเศษส่วนบางส่วนที่เป็นเศษส่วนส่วนหนึ่ง

ในกระบวนการของการได้รับเศษส่วนบางส่วน ส่วนที่กำหนดต้องเป็นเศษส่วนส่วนหนึ่ง หากเศษส่วนที่กำหนดไว้ไม่ใช่เศษส่วนส่วนหนึ่ง เราจะนำเศษส่วนนั้นมาหารด้วยตัวหารเพื่อให้ได้เหมือนกับร่วมและเศษส่วน และส่วนที่ใช้แยกเป็นเศษส่วนบางส่วนในกรณีนี้คือเศษส่วนที่เหลือ/ตัวหาร

วิธีการแยกเศษส่วนบางส่วนที่มี 3 รายการ

การแยกเศษส่วนบางส่วนที่มี 3 รายการเหมือนกับการแก้ไขเศษส่วนบางส่วนที่มี 2 รายการ เป็นการแยกเศษส่วนบางส่วน โดยสูตรสองสูตรสำหรับเศษส่วนบางส่วนที่มี 3 รายการ ดังนี้

k/[(x + a)(x + b)(x + c)] = A/(x + a) + B/(x + b) + C/(x + c)

K/[x(x + a)2] = A/x + B/(x + a) + C/(x + a)2