ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่เป็นบวกของค่าความแปรปรวน ซึ่งเป็นหนึ่งในเทคนิคพื้นฐานของการวิเคราะห์สถิติ โดยมักจะย่อว่า SD และใช้สัญลักษณ์ ‘σ’ เพื่อแสดงถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน และมันบอกเราเกี่ยวกับว่าข้อมูลมีค่าเบี่ยงเบนเท่าไหร่จากค่าเฉลี่ย หากเราได้ค่าเบี่ยงเบนต่ำแสดงว่าค่าข้อมูลมีความใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยในขณะที่ถ้าเราได้ค่าเบี่ยงเบนสูงแสดงว่าค่าข้อมูลห่างจากค่าเฉลี่ยมาก

เรามีสูตรแยกต่างหากเพื่อคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่รวมกันและข้อมูลที่ไม่ได้รวมกัน นอกจากนี้เรายังมีสูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แตกต่างกันเพื่อคำนวณ SD ของตัวแปรสุ่ม ให้เรามาดูสูตรทั้งหมดนี้ในรายละเอียดด้านล่าง

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคืออะไร

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือองค์ประกอบหนึ่งในสถิติเชิงพรรณนาที่บอกถึงการกระจายของค่าตัวอย่าง หรือการกระจายของจุดข้อมูลในตัวอย่างนั้นโดยเฉลี่ยค่าเฉลี่ย มันบอกเราว่าค่าข้อมูลกระจายอย่างไรบนตัวอย่างข้อมูลและเป็นการวัดความแตกต่างของจุดข้อมูลจากค่าเฉลี่ย ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูล ตัวอย่าง การกระจายทางสถิติ กลุ่มตัวอย่าง การกระจายทางสถิติ ประชากรทางสถิติ ตัวแปรสุ่ม หรือการกระจายความน่าจะเป็น คือรากที่เป็นบวกของค่าความแปรปรวนของชุดข้อมูล นั่นคือ \(\sqrt{\sigma^2}\)

การคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เมื่อเรามีจำนวน n ค่าตัวอย่างและมีค่าตัวอย่าง \(x_1, x_2, …..x_n\) ดังนั้น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าตัวอย่างจะถูกกำหนดโดย \(\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}\) ซึ่งหมายความว่าค่าตัวอย่างแต่ละค่าถูกนำมาลบกับค่าเฉลี่ยแล้วยกกำลังสองเพื่อนำผลรวมทั้งหมดไปบวกกัน

อย่างไรก็ตาม ผลรวมของตารางเลขของค่าตัวอย่างที่ลบกับค่าเฉลี่ยแล้วยกกำลังสองดูเหมือนว่าไม่

สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การกระจายของข้อมูลสถิติจะถูกวัดโดยใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแตกต่างของค่าจะถูกคำนวณโดยวิธีการประเมินค่าเบี่ยงเบนของจุดข้อมูล คุณสามารถอ่านเกี่ยวกับการกระจายในสถิติสรุปได้ ตามที่ได้กล่าวมาแล้ว ความแปรปรวนของชุดข้อมูลคือค่าระยะห่างที่เฉลี่ยของแต่ละค่าข้อมูลกับค่าเฉลี่ย และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานกำหนดให้บอกถึงการกระจายของค่าข้อมูลรอบค่าเฉลี่ย นี่คือสองสูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ใช้ในการค้นหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลตัวอย่างและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรที่กำหนด

โปรดทราบว่าทั้งสองสูตรดูเหมือนจะเหมือนกันเกือบทุกประการยกเว้นตัวหารซึ่งเป็น N ในกรณีของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร แต่เป็น n-1 ในกรณีของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง ขณะที่คำนวณค่าเฉลี่ยของตัวอย่างนั้นไม่ใช้ข้อมูลทั้งหมดในประชากรดังนั้นค่าเฉลี่ยของตัวอย่างเพียงแค่เป็นการประเมินค่าเฉลี่ยของประชากร แต่นี่มีความไม่แน่นอนหรือเสี่ยงต่อความคลาดเคลื่อนในการคำนวณค

วิธีการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

โดยทั่วไปค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหมายถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร และนี่คือขั้นตอนการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดค่าข้อมูล:

หาค่าเฉลี่ย ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลตัวอย่าง
หาตารางเลขแตกต่างจากค่าเฉลี่ย (ค่าข้อมูล – เฉลี่ย)2
หาค่าเฉลี่ยของตารางเลขแตกต่าง (ความแปรปรวน = ผลรวมของตารางเลขแตกต่าง ÷ จำนวนข้อมูล)
หารากที่สองของความแปรปรวน (ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน = √ความแปรปรวน)

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม

การคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลจะแตกต่างกันตามประเภทของข้อมูล การกระจายนั้นจะแสดงถึงความแตกต่างของข้อมูลจากตำแหน่งเฉลี่ยหรือตำแหน่งเฉลี่ยเฉลี่ย มีวิธีการหาค่าเบี่ยงเบนสามวิธีดังนี้

วิธีค่าเฉลี่ยจริง
วิธีค่าเฉลี่ยที่ถูกสมมติ
วิธีค่าเฉลี่ยระดับความแตกต่าง

ค่าเบี่ยงเบนด้วยวิธีค่าเฉลี่ยจริง

ในวิธีนี้ เราจะคำนวณค่าเฉลี่ยของข้อมูล ( \(\bar{x}\) ) ก่อน แล้วคำนวณค่าต่างจากค่าเฉลี่ยของแต่ละค่าข้อมูล จากนั้นเราจะใช้สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานดังต่อไปนี้:

σ = √(∑\((x-\bar{x})\)2 / n) โดยที่ n = จำนวนข้อมูลทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยของข้อมูล 3, 2, 5, 6 คือ (3 + 2 + 5 + 6)/4 = 16/4 = 4

ผลรวมของตารางเลขแตกต่างจากค่าเฉลี่ย = (4-3)2+(2-4)2 +(5-4)2 +(6-4)2 = 10

ค่าความแปรปรวน = ตารางเลขแตกต่างจากค่าเฉลี่ย/ จำนวนข้อมูล = 10/4 = 2.5

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน = √2.5 = 1.58

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่จัดกลุ่ม (ข้อมูลจำนวนจำกัด)

เมื่อจัดกลุ่มข้อมูล จะต้องสร้างตารางการกระจายความถี่ก่อน โดยเหมือนกับข้อมูลที่ไม่ได้จัดกลุ่ม ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่จัดกลุ่มก็สามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีการเดียวกัน คือ วิธีค่าเฉลี่ยจริง วิธีค่าเฉลี่ยที่ถูกสมมติ และวิธีค่าเฉลี่ยระดับความแตกต่าง

ค่าเบี่ยงเบนด้วยวิธีค่าเฉลี่ยจริง

สำหรับ n จำนวนของข้อมูล \(x_1, x_2, …..x_n\) และความถี่ที่เกี่ยวข้อง \(f_1, f_2, f_3, …f_n\) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ:

σ = √(\(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f_i \left(x_{i}-\bar x\right)^{2}\)). ที่นี่

n = ความถี่รวม = \(\sum_{i=1}^{n}f_i\)

\(\bar x\) = ค่าเฉลี่ย

ตัวอย่างเช่น คำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับข้อมูลดังนี้:

xi    6   10  12  14  24
fi    2   3   4   5   4

คำนวณค่าเฉลี่ย(\(\bar x\)): (6 × 2 + 10 × 3 + 12 × 4 + 14 × 5 + 24 × 4)/(2+3+4+5+4) = 14.22

xi    fi  fixi    xi - \(\bar x\) (xi - \(\bar x\))2  fi (xi - \(\bar x\))2
6    2   12  -8.22   67.5684 135.1368
10    3   24  -4.22   17.8084 53.4252
12    4   40  -2.22   4.9284  19.7136
14    5

วิธีคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลโดยวิธีการถือค่าเฉลี่ยเป็นระบบ

วิธีการคำนวณโดยใช้ค่าเฉลี่ยที่ถูกสมมติไว้ (Assumed Mean Method)

เมื่อค่าข้อมูลมีค่ามากมาย เราสามารถเลือกหนึ่งค่าจากข้อมูลให้เป็นค่าเฉลี่ยและนำมาใช้เป็นค่าเฉลี่ยที่ถูกสมมติไว้ (A) จากนั้นคำนวณค่าเบี่ยงเบน (d) ของแต่ละค่าข้อมูลโดยใช้สูตร d = x – A

READ: การหาสมการอนุพันธ์ชนิดที่เฉพาะเจาะจงในสมการอนุพันธ์ชนิด

แล้วนำค่าเบี่ยงเบนที่คำนวณได้จากขั้นตอนก่อนหน้ามาใช้ในสูตรคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานด้วยสมการ

σ = √[(∑(fd)2 /n) – (∑fd/n)2] โดยที่

‘f’ คือ ความถี่ของค่าข้อมูล x ที่สอดคล้องกัน
‘n’ คือ ความถี่รวมทั้งหมด

วิธีการคำนวณโดยใช้วิธีการหาค่าเบี่ยงเบนตามขั้นตอน (Step Deviation Method)

วิธีการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ถูกจัดกลุ่มได้ด้วยวิธีการหาค่าเบี่ยงเบนตามขั้นตอน (Step Deviation Method)

ในวิธีนี้เราจะสมมติว่ามีค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่ถูกสมมติไว้ (A) และคำนวณค่าเบี่ยงเบนของข้อมูลโดยใช้สูตร d = x – A ตามปกติ

จากนั้นเราจะหาค่าเบี่ยงเบนตา

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ถูกจัดกลุ่ม (Continuous)

หากการกระจายความถี่เป็นต่อเนื่อง แต่ละช่วงข้อมูลจะถูกแทนที่ด้วยจุดกึ่งกลางของช่วงนั้น จากนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะถูกคำนวณโดยใช้เทคนิคเดียวกับในกรณีข้อมูลแบบ

ตัวอย่างเช่น หากเรามีตารางความถี่ดังนี้

ช่วงข้อมูล	ความถี่	จุดกึ่งกลางของช่วงนั้น
0-10	3	5
10-20	4	15
20-30	6	25
30-40	4	35
40-50	8	45

เราสามารถคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้โดยใช้สูตรเดียวกับในกรณีข้อมูลแบบ離散 โดยจะนำจุดกึ่งกลางของแต่ละช่วงมาใช้เป็นข้อมูล xi ในสูตร

นอกจากนี้ เรายังสามารถคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ด้วยวิธีการคำนวณค่าเบี่ยงเบนของข้อมูลที่ถูกจัดกลุ่มโดยใช้วิธีการคำนวณตามเงื่อนไขเดียวกันในกรณีข้อมูลแบบไม่ต่อเนื่อง

คุณกำลังดู: ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน – สูตร | วิธีการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานอย่างไร?

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม

การวัดการกระจายของการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม

การวัดการกระจายของการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มจะช่วยในการกำหนดระดับความแตกต่างของค่าตัวแปรสุ่มจากค่าคาดหมาย (Expected Value) นี่เป็นฟังก์ชันที่กำหนดค่าตัวเลขให้กับผลลัพธ์ทุกตัวอย่างมีค่า X, Y หรือ Z ถ้า X เป็นตัวแปรสุ่ม ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะถูกกำหนดโดยการหาค่ารากที่สองของผลรวมของสิ่งต่างๆ ดังนี้

𝜎 = \(\sqrt{\Sigma\left[(x-\mu)^2 \cdot P(x)\right]}\)

x คือ ตัวแปรสุ่ม
𝜇 (หรือ) E(X) คือ ค่าคาดหมายหรือค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม
P(x) คือ ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่า x

วิธีคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยวิธีทางลัด (Shortcut Method)

วิธีทางลัดในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มคือ

𝜎 = \(\sqrt{E(X^2)-[E(X)]^2}\) หรือ
𝜎 = \(\sqrt{\Sigma\left[x^2 \cdot P(x)\right]-\mu^2}\)

โดยที่

x คือ ตัวแปรสุ่ม
𝜇 (หรือ) E(X) คือ ค่าคาดหมายหรือค่าคาดหมายของต

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการกระจายความน่าจะเป็น

ความหมายของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การวัดความแตกต่างของค่าตัวแปรสุ่มจากค่าคาดหมายในการกระจายความน่าจะเป็นของผลการทดลอง เรียกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) โดยใช้การคำนวณผลรวมของต่างระหว่างค่าตัวแปรสุ่มและค่าคาดหมาย จากนั้นกำหนดให้เป็นรากที่สองของผลรวมนี้ สัญลักษณ์ค่าคาดหมายของการทดลองคือ 𝜇

ในการกระจายความน่าจะเป็นที่เป็นปกติ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 และค่าคาดหมายเท่ากับ 0

ในการทดลองแบบไบโนมิอล (Binomial Experiment) จำนวนครั้งที่เกิดเหตุการณ์สำเร็จเป็นตัวแปรสุ่ม หากตัวแปรสุ่มมีการกระจายความน่าจะเป็นแบบไบโนมิอล ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มจะถูกกำหนดโดยสูตร 𝜎 = √npq โดยที่

𝜇 = np คือค่าคาดหมาย
n คือจำนวนครั้งที่ทดลอง
p คือความน่าจะเป็นในการเกิดเหตุการณ์สำเร็จ
q คือความน่าจะเป็นในการเกิดเหตุการณ์ล้มเหลว ซึ่งมีค่าเท่ากับ 1-p

ในการกระจายความน่าจะเป็นแ

ความหมายของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหมายถึง การวัดความกระจายหรือการกระจายของข้อมูลโดยรอบต่อค่าเฉลี่ย มันช่วยให้เราสามารถเปรียบเทียบชุดข้อมูลที่มีค่าเฉลี่ยเดียวกันแต่มีช่วงค่าที่แตกต่างกันได้ สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับตัวอย่างสุ่มคือ \(s=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}\) โดยที่ \(\bar x\) คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง และ \(x_i\) คือค่าสังเกตการณ์ข้อมูล และ n คือขนาดของตัวอย่าง

สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับประชากรและตัวอย่าง

หาก ‘n’ คือจำนวนสังเกตการณ์และ \(\bar x\) คือค่าเฉลี่ยของประชากร/ตัวอย่าง สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับประชากร/ตัวอย่างคือ:

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับตัวอย่าง: \(s=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}\)
ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับประชากร: \(\sigma=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu\right)^{2}}\)

สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับข้อมูลที่ไม่รวมกลุ่ม

เมื่อข้อมูลไม่ได้รวมกลุ่ม

สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับข้อมูลที่รวมกลุ่ม

ข้อมูลที่รวมกลุ่มอาจเป็นแบบ離散หรือต่อเนื่อง นี่คือสูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับข้อมูลที่รวมกลุ่มแบบ離散ตามวิธีต่าง ๆ หากข้อมูลเป็นแบบต่อเนื่อง ค่าของข้อมูลจะเป็นจุดกึ่งกลางของช่วงของคลาส และจากนั้นสามารถคำนวณค่าเบี่ยงเบนด้วยสูตรเดียวกับข้อมูลแบบ離散ได้

ด้วยวิธีค่าเฉลี่ยจริง: σ = √(∑\(f(x-\bar x)\)2 /n)
ด้วยวิธีค่าเฉลี่ยที่ถูกต้อง: σ = √[(∑(fd)2 /n) – (∑fd/n)2]
ด้วยวิธีค่า step deviation: σ = √[(∑(fd’)2 /n) – (∑fd’/n)2] × i

หากต้องการทราบขั้นตอนการคำนวณค่าเบี่ยงเบนอย่างละเอียด ๆ โปรดเลื่อนหน้านี้ขึ้นไปดูข้อมูลตามข้างบน

ความแตกต่างระหว่างสูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและสูตรค่าความแปรปรวน

ความแปรปรวนเป็นค่าเฉลี่ยของต่างระหว่างการเบี่ยงเบนของค่าเฉลี่ย ในขณะที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นรากที่สองของค่านี้ ทั้งสองนี้แสดงถึงความแปรปรวนในการกร

ความหมายของ Mean-Variance และ Standard Deviation ในสถิติ

ค่าความแปรปรวน (Variance) เป็นผลรวมของส่วนเบี่ยงเบนที่ถูกยกกำลังสองของผลต่างระหว่างทุกตัวเลขกับค่าเฉลี่ย ส่วน Standard Deviation เป็นรากที่สองของค่าความแปรปรวน และเป็นตัววัดที่บอกถึงระดับการแตกต่างของข้อมูลจากค่าเฉลี่ย สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ √ค่าความแปรปรวน

สูงสุดใด ควรใช้สูตรค่าความแปรปรวนหรือสูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน?

ทั้งสองมีวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกัน สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) มักจะช่วยอธิบายความแปรปรวนของข้อมูลได้ดีกว่า ในขณะที่สูตรค่าความแปรปรวน (Variance) มักจะช่วยในการคำนวณทางคณิตศาสตร์มากกว่า ตัวอย่างเช่นผลรวมของการกระจายที่ไม่สัมพันธ์กัน (ตัวแปรสุ่ม) ยังคงมีค่าความแปรปรวนที่เป็นผลรวมของค่าความแปรปรวนของการกระจายเหล่านั้น