ตัวหาค่ากำหนด – ความหมายและนิยาม | เมทริกซ์ขนาด 3×3, 4×4

ในคณิตศาสตร์ ดิเทรมิแนนต์ (Determinants) เป็นจำนวนสเกลาร์ที่ได้จากผลรวมของผลคูณของสมาชิกในเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจตุรัสและโคแฟกเตอร์ของเขาตามกฎที่กำหนดไว้ เราสามารถนำดิเทรมิแนนต์มาช่วยหาแอดจอยและกลับค่าของเมทริกซ์ได้ นอกจากนี้ การแก้สมการเชิงเส้นด้วยวิธีการกลับค่าเมทริกซ์ต้องใช้แนวคิดดิเทรมิแนนต์ด้วย การคูณกันของเวกเตอร์สองตัวก็สามารถจำได้ง่ายด้วยการคำนวณดิเทรมิแนนต์ ในบทความนี้เราจะเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับกระบวนการหาดิเทรมิแนนต์ของอันตรายต่าง ๆ และคุณสมบัติของดิเทรมิแนนต์ เราจะได้ทำงานกับตัวอย่างที่แก้ไขไว้ไม่กี่ข้อด้วย

ดิเทรมิแนนต์คืออะไร?

ดิเทรมิแนนต์ถือเป็นปัจจัยการปรับขนาดของเมทริกซ์ สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นฟังก์ชั่นของการยืดและการหดของเมทริกซ์ ดิเทรมิแนนต์เป็นเลขตัวเดียวที่ส่งออกมาจากการป้อนเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจตุรัสเป็นอินพุต

คำจำกัดความของดิเทรมิแนนต์

สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจตุรัส C = [\(c_{ij}\)] ขนาด n × n ดิเทรมิแนนต์สามารถกำหนดได้เป็นค่าสเกลาร์ที่เป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ \(c_{ij}\) คือสมาชิก (i, j) ของเมทริกซ์ C ดิเทรมิแนนต์สามารถแสดงได้เป็น det(C) หรือ |C| โดยในที่นี้ เราใช้สัญลักษณ์ดิเทรมิแนนต์เขียนภายในเครื่องหมายแทนค่าสัมบูรณ์แทนที่จะใช้วงเล็บสี่เหลี่ยม

พิจารณาเมทริกซ์ C = \(\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ \\ 3 & 4\end{array}\right]\)

ดังนั้น ดิเทรมิแนนต์ของเมทริกซ์ C สามารถแสดงได้เป็น:

|C| = \(\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right|\)

วิธีการคำนวณดิเทรมิแนนต์

การคำนวณดิเทรมิแนนต์

สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจตุรัสขนาด 1 × 1 ที่เพียงแค่มีตัวเลขเพียงตัวเดียว ดิเทรมิแนนต์กลายเป็นตัวเลขนั้นเอง มาเรียนรู้วิธีการคำนวณดิเทรมิแนนต์สำหรับเมทริกซ์ขนาดต่าง ๆ เช่นเมทริกซ์ขนาด 2 × 2 3 × 3 และ 4 × 4

การคำนวณดิเทรมิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 2×2

สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจตุรัสขนาด 2×2 หรือเมทริกซ์สี่เหลี่ยมขนาด 2 × 2 เราสามารถใช้สูตรดิเทรมิแนนต์เพื่อคำนวณดิเทรมิแนนต์ได้:

C = \(\left[\begin{array}{ll}a & b \\\\c & d\end{array}\right]\)

ดิเทรมิแนนต์ขนาด 2×2 ของมันสามารถคำนวณได้เป็น:

|C| = \(\left|\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right|\) = (a×d) – (b×c)

ตัวอย่างเช่น: C = \(\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\ \\3 & 4\end{array}\right]\)

ดิเทรมิแนนต์ของมันสามารถคำนวณได้เป็น:

|C| = \(\left|\begin{array}{ll}8 & 6 \\3 & 4\end{array}\right|\)

|C| = (8×4) – (6×3) = 32 – 18 = 14

การคำนวณดิเทรมิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3×3

การคำนวณดิเทรมิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3×3

สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจตุรัสขนาด 3×3 หรือเมทริกซ์สี่เหลี่ยมขนาด 3 × 3 \(C = \left[\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right]\) ดิเทรมิแนนต์แสดงได้เป็น:

|C| (หรือ) det C = \(\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|\)

ต่อไปนี้คือขั้นตอนในการคำนวณดิเทรมิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3×3

1. a1 ถูกติดตั้งเป็นจุดยึดและดิเทรมิแนนต์ของซับเมทริกซ์ขนาด 2×2 (ไมเนอร์ของ a1)
2. คำนวณไมเนอร์ของ b1 และ c1 อย่างเดียวกัน
3. คูณไมเนอร์ขนาดเล็กด้วยจุดยึดและด้วยสัญลักษณ์ของมัน \(\left|\begin{array}{ccc}+ &-& + \\- & + & – \\+ &-& + \end{array}\right|\)
4. รวมพวกเข้าด้วยกัน

|C| = \(a_{1} \cdot\left|\begin{array}{ll}b_{2} & c_{2} \\b_{3} & c_{3}\end{array}\right|-b_{1} \cdot\left|\begin{array}{cc}a_{2} & c_{2} \\a_{3} & c_{3}\end{array}\right|+c_{1} \cdot\left|\begin{array}{ll}a_{2} & b_{2} \\a_{3} & b_{3}\end{array}\right|\)

|C| = (a_{1}\left(b_{2} c_{3}-b_{3

การคำนวณดิเทรมิแนนต์ของเมทริกซ์ 4×4

การคำนวณดิเทรมิแนนต์ของเมทริกซ์ 4×4

พิจารณาเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจตุรัสขนาด 4×4 หรือเมทริกซ์สี่เหลี่ยมขนาด 4×4 ดังต่อไปนี้ มีการเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้ที่ต้องจำให้ได้ในขณะที่กำลังหาดิเทรมิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 4×4:

B = \(\left[\begin{array}{cccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right]\)

บวก a1 คูณด้วยดิเทรมิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3×3 ที่ได้จากการลบแถวและคอลัมน์ที่มี a1

ลบ b1 คูณด้วยดิเทรมิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3×3 ที่ได้จากการลบแถวและคอลัมน์ที่มี b1

บวก c1 คูณด้วยดิเทรมิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3×3 ที่ได้จากการลบแถวและคอลัมน์ที่มี c1

ลบ d1 คูณด้วยดิเทรมิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาด 3×3 ที่ได้จากการลบแถวและคอลัมน์ที่มี d1

(\begin{align}|B| = &a_{1} \cdot\left|\begin{array}{lll}b_{2} & c_{2} & d_{2} \b_{3} & c_{3} & d_{3} \b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right|-b_{1} \cdot\left|\begin{array}{ccc}a_{2} & c

การคูณ Determinants ขนาด 3×3

โดยพิจารณามาตราร์กิต C และ D ขนาด 3×3 โดยกำหนดค่ามาตราร์กิตของเขาเป็น |C| และ |D| ตามที่แสดงด้านล่าง:

|C| = \(\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|\)

|D| = \(\left|\begin{array}{lll}p_{1} & q_{1} & r_{1} \\p_{2} & q_{2} & r_{2} \\p_{3} & q_{3} & r_{3}\end{array}\right|\)

|C| × |D| = \(\left|\begin{array}{lll} a_{1} p_{1}+b_{1} p_{2}+c_{1} p_{3} & a_{1} q_{1}+b_{1} q_{2}+c_{1} q_{3} & a_{1} r_{1}+b_{1} r_{2}+c_{1} r_{3} \\a_{2} p_{1}+b_{2} p_{2}+c_{2} p_{3} & a_{2} q_{1}+b_{2} q_{2}+c_{2} q_{3} & a_{2} r_{1}+b_{2} r_{2}+c_{2} r_{3} \\a_{3} p_{1}+b_{3} p_{2}+c_{3} p_{3} & a_{3} q_{1}+b_{3} q_{2}+c_{3} q_{3} & a_{3} r_{1}+b_{3} r_{2}+c_{3} r_{3}\end{array}\right|\)

จุดที่จำเป็นต้องระบุ

• เพื่อคูณมาตราร์กิตสองตัวต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าทั้งสองต้องเป็นขนาดเดียวกัน
• ค่ามาตราร์กิตไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเราสลับแถวและคอลัมน์ ดังนั้นเราสามารถทำการคูณด้วยการเลื่อนคอลัมน์ แถว หรือการคูณแถวกับแถวได้

คุณสมบัติของมาตราร์กิต

คุณสมบัติที่สำคัญ

สำหรับเมทริกซ์จตุรัสของประเภทต่างๆ การคำนวณมาตราร์กิตของมันจะถูกคำนวณโดยใช้คุณสมบัติที่สำคัญของมาตราร์กิต ดังนี้:

คุณสมบัติที่ 1: “มาตราร์กิตของเมทริกซ์ Identity เป็นเสมอเป็น 1”

พิจารณามาตราร์กิตของเมทริกซ์ Identity I = \(\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\0 & 1\end{array}\right]\), |I| = (1)(1) – (0)(0) = 1. ดังนั้นมาตราร์กิตของเมทริกซ์ Identity ใด ๆ จะมีค่าเท่ากับ 1 เสมอ

คุณสมบัติที่ 2: “ถ้ามีเมทริกซ์ B ขนาด n×n ที่มีแถวศูนย์หรือคอลัมน์ศูนย์ แล้ว det(B) = 0”

พิจารณามาตราร์กิตของเมทริกซ์ B

|B| = \(\left|\begin{array}{ll} 2 & 2 \\0 & 0\end{array}\right|\)

|B| = (2)(0) – (2)(0) = 0

ในที่นี้ มีแถวศูนย์ในเมทริกซ์ B ดังนั้นมาตราร์กิตของเมทริกซ์จะเป็นศูนย์

คุณสมบัติที่ 3: “ถ้า C เป็นเมทริกซ์ตั้งหรือเอียงลง จะได้ว่า det(C) เท่ากับผลคูณของทุกประกอบทางเส้นทแยงขวา”

พิจารณาเมทริกซ์เอียงลง C โดยมีประกอบทางเส้นทแยงขวา 3, 2

กฎการดำเนินการกับมาตราร์กิต

กฎที่มีประโยชน์ในการดำเนินการแถวและคอลัมน์ในมาตราร์กิต

• ค่ามาตราร์กิตไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเราสลับแถวและคอลัมน์
• เครื่องหมายของมาตราร์กิตเปลี่ยนไป หากมีการสลับแถวหรือ (สลับคอลัมน์สอง)
• ถ้ามีแถวหรือคอลัมน์สองที่เท่ากันในเมทริกซ์ ค่ามาตราร์กิตจะเป็นศูนย์
• ถ้าแต่ละสมาชิกในแถวหรือคอลัมน์ใดๆ ถูกคูณด้วยค่าคงที่ ค่ามาตราร์กิตก็จะถูกคูณด้วยค่าคงที่นั้นเช่นกัน
• ถ้าสมาชิกในแถวหรือคอลัมน์แต่ละตัวถูกแสดงเป็นผลรวมของสมาชิก ค่ามาตราร์กิตสามารถแสดงเป็นผลรวมของมาตราร์กิตต่างๆ นั้น
• ถ้าสมาชิกในแถวหรือคอลัมน์ถูกเพิ่มหรือลดด้วยสมาชิกหรือสมบัติทางเส้นที่เกี่ยวข้องในแถวหรือคอลัมน์อื่น ค่ามาตราร์กิตจะไม่เปลี่ยนแปลง

ข้อควรจำก่อนศึกษามาตราร์กิต

• มาตราร์กิตสามารถถือเป็นฟังก์ชันที่รับเมทริกซ์ตั้งสี่เป็นอินพุทและคืนค่าเดียวเป็นเอาต์พุท
• เมทริกซ์สี่เหลี่ยม (square matrix) คือเ

มาตราร์กิตคืออะไร

การนิยามของมาตราร์กิต

มาตราร์กิตของเมทริกซ์สี่เหลี่ยม C = [\(c_{ij}\)] ขนาด n×n สามารถนิยามได้เป็นค่าสกัด (scalar value) ที่เป็นจำนวนจริงหรือจำนวนซับจำนวน โดยที่ \(c_{ij}\) คือสมาชิกในตำแหน่ง (i,j) ของเมทริกซ์ C มาตราร์กิตนั้นถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ det(C) หรือ |C| โดยจะวาดกริดของตัวเลขและจัดเรียงภายในแทนที่จะใช้วงเล็บเหลี่ยม เมทริกซ์สี่เหลี่ยม C ขนาด 2×2 สามารถคำนวณมาตราร์กิตได้ตามสูตร |C| = (a×d) – (b×c) เมื่อ a, b, c และ d คือสมาชิกในเมทริกซ์ C

วิธีการใช้มาตราร์กิต

มาตราร์กิตเป็นสิ่งสำคัญในสมการเชิงเส้นโดยที่ใช้ในการจับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรเป็นจำนวนเต็ม และเปลี่ยนแปลงการเปลี่ยนรูปแบบที่เชิงเส้นส่งผลกับปริมาตรหรือพื้นที่ มาตราร์กิตเป็นสิ่งที่มีประโยชน์มากในการใช้งานจริงที่ใช้ตัวตนอินเวอร์สและแอดจอยของเมทริกซ์ การคำนวณครอสโพรดักต์ของเวกเตอร์สองตัวยังใช้มาตราร์กิตเป็นวิธีการคำนวณ

คุณสมบัติของเมทริกซ์หรือ Determinants

คุณสมบัติของ Determinants

นี่คือรายการของคุณสมบัติสำคัญของเมทริกซ์หรือ determinants:

คุณสมบัติที่ 1: “Deteminant ของเมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity matrix) เท่ากับ 1 เสมอ”

Deteminant ของ Identity matrix I = (\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]) เท่ากับ 1

คุณสมบัติที่ 2: “ถ้า B เป็น square matrix ขนาด n × n และมี zero row หรือ zero column ใด ๆ แล้ว det(B) = 0”

ถ้าเมทริกซ์กำลังจะคำนวณมี zero row หรือ zero column ใด ๆ เมทริกซ์จะมี det(B) เป็น 0

คุณสมบัติที่ 3: “ถ้า C เป็น upper-triangular หรือ lower-triangular matrix แล้ว det(C) เท่ากับผลคูณของ diagonal entries ทั้งหมด”

ถ้า C เป็น upper-triangular หรือ lower-triangular matrix แล้ว det(C) เท่ากับผลคูณของ diagonal entries ทั้งหมด

คุณสมบัติที่ 4: “ถ้า D เป็น square matrix และถ้า row ของมันถูกคูณด้วยค่าคงที่ k ได้, ค่าคงที่ k สามารถถูกนำออกจาก determinant ได้”

ถ้า D เป็น square matrix และถ้า row ของมันถูกคูณด้วยค่าคงที่ k ได้, ค่าคงที่ k สามารถถูกนำออกจาก determinant ได้

คุณสมบัติที่ 5: “เมทริกซ์ C ถือเป็น invertible หากและเท่านั้นก็ต่อเมื่อ det(C) ≠ 0”

เมทริกซ์ C ถือเป็น invertible หากและเท่านั้นก็ต่อเมื่อ det(C) ≠ 0

กฎการทำแถวและหลักในการดำเนินการกับตัวดำเนินการ

กฎในการทำแถวและหลัก

เราสามารถใช้กฎต่อไปนี้ในการทำแถวและหลักในการดำเนินการกับตัวดำเนินการ

• หากเราสลับแถวและหลัก ค่าของตัวดำเนินการจะยังคงเดิม
• เมื่อสลับแถวสองแถวหรือสลับหลักสองหลัก ทำให้เครื่องหมายของตัวดำเนินการเปลี่ยนแปลง
• ค่าของตัวดำเนินการสำหรับเมตริกซ์ที่มีแถว/หลักสองแถวที่เท่ากันเท่ากับศูนย์
• หากเราคูณค่าคงที่กับทุกๆ สมาชิกในแถวหรือหลักของเมตริกซ์ ค่าตัวดำเนินการของเมตริกซ์นั้นโดยเช่นเดียวกับค่าคงที่นั้นโดยสมบูรณ์
• หากสมาชิกในแถวหรือหลักถูกแสดงเป็นผลรวม ค่าตัวดำเนินการสามารถแบ่งเป็นตัวดำเนินการสอง/หลายตัว
• หากเราคูณแถวหนึ่ง (หรือหลัก)ด้วยตัวเลขและแสดงผลลัพธ์ของสมาชิกที่เกิดขึ้นกับแถวอื่นหนึ่ง (หรือหลัก) จะไม่มีการเปลี่ยนแปลงในตัวดำเนินการ

คุณกำลังดู: ตัวหาค่ากำหนด – ความหมายและนิยาม | เมทริกซ์ขนาด 3×3, 4×4