ความแปรปรวนเป็นตัวชี้วัดที่ใช้วัดระดับความกระจายตัวของชุดข้อมูล มันบ่งชี้ถึงการกระจายตัวของข้อมูลว่าแตกต่างกันอย่างไร ซึ่งมีประโยชน์ในการใช้สร้างตัวอย่างทางสถิติ เนื่องจากความแปรปรวนต่ำเป็นสัญญาณว่าข้อมูลอาจถูกบีบอัดมากเกินไปจนไม่สามารถทำนายผลได้[1] สามารถคำนวณความแปรปรวนได้ดังนี้:

คำนวณค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล ซึ่งเป็นผลรวมของค่าในชุดข้อมูลหารด้วยจำนวนของข้อมูลทั้งหมด
หาความแตกต่างของแต่ละค่าในชุดข้อมูลจากค่าเฉลี่ยที่คำนวณได้ในข้อ 1 และยกกำลังสองของความแตกต่างนี้
นำผลคำนวณในข้อ 2 มาบวกกันทั้งหมด และหารด้วยจำนวนของข้อมูลทั้งหมด

สามารถใช้สูตรดังนี้เพื่อคำนวณความแปรปรวนของชุดข้อมูล:

ความแปรปรวน = (Σ(ค่าข้อมูล – ค่าเฉลี่ย)²) / จำนวนข้อมูลทั้งหมด

เมื่อได้ค่าความแปรปรวนแล้ว สามารถใช้ข้อมูลนี้เพื่อวิเคราะห์ระดับความกระจายตัวของชุดข้อมูลและปรับปรุงหรือประเมินค่าทางสถิติอื่น ๆ ตามที่เหมาะสมในการใช้งาน

คุณกำลังดู: วิธีการ คำนวณความแปรปรวน

การวิเคราะห์และการนับถือกฎหมายของข้อมูลตัวอย่าง

การเข้าถึงและการวิเคราะห์ข้อมูลตัวอย่าง

ในการวิเคราะห์ข้อมูลทางสถิติ, นักวิเคราะห์ส่วนใหญ่จะเข้าถึงข้อมูลตัวอย่าง ซึ่งเป็นกลุ่มตัวอย่างที่สุ่มมาจากจำนวนประชากรทั้งหมดที่ต้องการศึกษา (Sukal, 2021)

ตัวอย่างเช่น ถ้าเราต้องการวิเคราะห์ราคาของรถยนต์ในประเทศเยอรมนี นักวิเคราะห์สถิติอาจเลือกสุ่มราคาจากกลุ่มรถยนต์ไม่กี่พันคันเพื่อคาดการณ์ราคาของรถยนต์ในประเทศเยอรมนี (Sukal, 2021)

อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์ข้อมูลตัวอย่างไม่ใช่ตัวเลขแท้ๆ เนื่องจากมันไม่สามารถแทนจำนวนประชากรทั้งหมดได้อย่างแม่นยำ แต่สามารถใช้เพื่อคาดการณ์และประมาณค่าแบบสถิติได้ (Sukal, 2021)

การคำนวณความแปรปรวน

ความแปรปรวนเป็นตัวบ่งชี้ว่าข้อมูลในกลุ่มตัวอย่างมีการกระจายตัวอย่างไร ค่าความแปรปรวนที่มากก็แสดงว่าข้อมูลมีการกระจายตัวอย่างไกล่เกลี่ยมากขึ้น และค่าความแปรปรวนที่น้อยก็แสดงว่าข้อมูลมีการกระจายตัวอย่างใกล้เคียงกันมากขึ้น (Dew

คำนวณหาค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง

หากคุณต้องการหาค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง คุณสามารถใช้สัญลักษณ์ x̅ หรือ “x-bar” ซึ่งหมายถึงค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง โดยการคำนวณเหมือนกับการหาค่าเฉลี่ยใดๆ โดยการบวกค่าทั้งหมดของจุดข้อมูลเข้าด้วยกัน แล้วหารด้วยจำนวนสมาชิกของข้อมูลนั้น

ตัวอย่าง

เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น สมมติว่าเรามีกลุ่มตัวอย่าง 6 จุดข้อมูลดังนี้ 17, 15, 23, 7, 9, และ 13 จะได้ว่า

17 + 15 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84

จากนั้นหารคำตอบที่ได้ด้วยจำนวนสมาชิกของข้อมูล ในกรณีนี้คือหก:

84 ÷ 6 = 14

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างคือ x̅ = 14

คุณอาจมองว่าค่าเฉลี่ยเป็นเหมือน “จุดกึ่งกลาง” ของข้อมูล หากกลุ่มข้อมูลจับกลุ่มรวมตัวใกล้ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวนก็จะต่ำ หากมันกระจายห่างออกจากค่าเฉลี่ย ก็แสดงว่าความแปรปรวนสูง

ลบค่าเฉลี่ยออกจากจุดข้อมูลแต่ละตัว

ต่อมา เราสามารถหาค่าเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยโดยการลบค่าเฉลี่ยออกจากจุดข้อมูลแต่ละตั

การคำนวณค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยและค่าเบี่ยงเบนที่แก้ปัญหาการบวกลบ

ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย

เมื่อต้องการหาว่าข้อมูลมีการกระจายตัวเช่นไร ทำได้โดยการคำนวณค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย (standard deviation) ซึ่งคือการหาค่าระยะห่างของข้อมูลจากค่าเฉลี่ย แต่โดยปกติแล้วเราจะไม่สามารถนำค่าเบี่ยงเบนแบบตรงๆ มาใช้ได้ เนื่องจากค่าเบี่ยงเบนของข้อมูลจะบอกถึงความแตกต่างของข้อมูลแต่ไม่สามารถบอกได้ว่าข้อมูลมีการกระจายตัวอย่างไร โดยตัวเบี่ยงเบนที่นำมาใช้ต้องผ่านการยกกำลังสองก่อนจึงนำมาคำนวณ จึงจะได้ผลรวมที่ไม่ติดลบ

การแก้ปัญหาการบวกลบ

เมื่อนำค่าเบี่ยงเบนแต่ละตัวมาบวกกัน จะพบว่าค่าบวกและลบจะได้ไม่หักลบกันเองจนกลายเป็นศูนย์ แต่การนำค่าเบี่ยงเบนแต่ละตัวมายกกำลังสองก่อนจะทำให้ได้ผลรวมที่ไม่ติดลบ ดังนั้น ในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนจะต้องนำค่าทุกตัวมายกกำลังสองก่อนจึงจะนำไปคำนวณต่อ และการหาผลรวมของค่าที่ถูกยกกำลังสองก็สามารถทำได้โดยการใช้สูตร: ∑[( – x̅)] ตัวซิกม่าพิมพ์ใหญ่ ∑ คือผลรวมค่าของพจน์ต่

ทำความเข้าใจเกี่ยวกับความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นมาตรการทางสถิติที่สำคัญซึ่งใช้เพื่ออธิบายการแพร่กระจายหรือการกระจายตัวของชุดข้อมูล ความแปรปรวนถูกกำหนดให้เป็นค่าเฉลี่ยของผลต่างกำลังสองจากค่าเฉลี่ย ในขณะที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่สองของความแปรปรวน

การคำนวณความแปรปรวน

ในการคำนวณความแปรปรวนของชุดข้อมูล คุณสามารถใช้สูตร:

s2 = ∑(x – x̄)2 / (n – 1)

โดยที่ x คือค่าของแต่ละจุดข้อมูล x̄ คือค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล และ n คือจำนวนของจุดข้อมูลในชุดข้อมูล โปรดทราบว่าเราหารด้วย n – 1 แทน n เมื่อคำนวณความแปรปรวนตัวอย่าง สิ่งนี้เรียกว่าการแก้ไขของ Bessel และใช้เพื่ออธิบายความจริงที่ว่ากลุ่มตัวอย่างมีแนวโน้มที่จะประเมินค่าความแปรปรวนที่แท้จริงของประชากรต่ำเกินไป

ตัวอย่างเช่น หากคุณมีชุดข้อมูลที่มีจุดข้อมูล 6 จุด คุณจะคำนวณความแปรปรวนได้ดังนี้:

s2 = [(x1 – x̄)2 + (x2 – x̄)2 + (x3 – x̄)2 + (x4 – x̄)2 + (x5 – x̄)2 + (x6 – x̄)2 ] / (6 – 1 )

การคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน คุณเพียงแค่หารากที่สองของความแปรปรวน:

s = √s2

ใช้ตัวอย่างเดียวกับด้านบน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเป็น:

s = √s2 = √33.2 = 5.76

บทสรุป

การทำความเข้าใจเกี่ยวกับความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีความสำคัญต่อการวิเคราะห์และตีความข้อมูล เมื่อต้องจัดการกับตัวอย่างประชากรจำนวนมาก สิ่งสำคัญคือต้องใช้การแก้ไขของ Bessel เพื่อคำนวณความแปรปรวนของตัวอย่าง ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นตัววัดที่มีประโยชน์สำหรับการแพร่กระจายของชุดข้อมูล และมักใช้ในการวิเคราะห์และการสร้างแบบจำลองทางสถิติ

การทำความเข้าใจข้อมูลประชากร: การคำนวณความแปรปรวนและค่าเฉลี่ย

การแนะนำ

ข้อมูลประชากรหมายถึงจำนวนบุคคลทั้งหมดในกลุ่มที่มีลักษณะร่วมกัน อาจเป็นกลุ่มคน สัตว์ หรือสิ่งของก็ได้ ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังศึกษาอายุของผู้อยู่อาศัยในเท็กซัส ประชากรจะเป็นผลรวมของอายุของผู้อยู่อาศัยทั้งหมดในเท็กซัส บทความนี้จะอธิบายวิธีการคำนวณความแปรปรวนและค่าเฉลี่ยของข้อมูลประชากร

ความแปรปรวนของประชากร

ในการวัดระดับความแปรปรวนของข้อมูลประชากร นักสถิติใช้สูตรที่เรียกว่าความแปรปรวนของประชากร สูตรความแปรปรวนถูกกำหนดเป็น:

σ² = (∑(x – μ)²) / n

ที่ไหน:
σ² = ความแปรปรวนของประชากร
μ = ค่าเฉลี่ยของประชากร
n = จำนวนสมาชิกในประชากร
∑ = เครื่องหมายผลรวม
x = จุดข้อมูลแต่ละจุด

เครื่องหมายผลรวม (∑) ใช้เพื่อเพิ่มค่าทั้งหมดของ (x – μ)² สำหรับแต่ละจุดข้อมูลในประชากร การลบค่าเฉลี่ยออกจากจุดข้อมูลแต่ละจุดและยกกำลังสองผลลัพธ์จะทำให้แน่ใจได้ว่าค่าทั้งหมดเป็นค่าบวก

READ: วิธีการ ดาวน์โหลดคลิป YouTube ใน Mac

ตัวอย่างการคำนวณ

สมมติว่าเรามีตู้ปลาหกตู้ในการจัดแสดงพิพิธภัณฑ์ โดยมีประชากรปลาดังต่อไปนี้:

ถัง 1: 10 ปลา

ถัง 2: 15 ปลา

ถัง 3: 8 ปลา

ถัง 4: 12 ปลา

ถัง 5: 11 ปลา

ถัง 6: 9 ปลา

ในการคำนวณความแปรปรวนของประชากร เราต้องหาค่าเฉลี่ยของประชากรก่อน

μ = (10 + 15 + 8 + 12 + 11 + 9) / 6
ไมโคร = 11

ตอนนี้เราสามารถคำนวณความแปรปรวนของประชากรได้:

σ² = ((10-11)² + (15-11)² + (8-11)² + (12-11)² + (11-11)² + (9-11)²) / 6
σ² = 4.33

ดังนั้นความแปรปรวนของประชากรสำหรับตู้ปลาคือ 4.33

ค่าเฉลี่ยของประชากร

ค่าเฉลี่ยประชากรหรือที่เรียกว่าค่าเฉลี่ยเป็นการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง มันแสดงผลรวมของจุดข้อมูลทั้งหมดในประชากรหารด้วยจำนวนสมาชิกในประชากร สูตรสำหรับค่าเฉลี่ยของประชากรกำหนดเป็น:

μ = (∑x) / n

ที่ไหน:
μ = ค่าเฉลี่ยประชากร
∑ = เครื่องหมายผลรวม
x = จุดข้อมูลแต่ละจุด
n = จำนวนสมาชิกในประชากร

ตัวอย่างการคำนวณ

จากตัวอย่างเดียวกันของตู้ปลา เราสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยประชากรได้ดังนี้:

μ = (10 + 15 + 8 + 12 + 11 + 9) / 6
ไมโคร = 11

ดังนั้นค่าเฉลี่ยประชากรสำหรับตู้ปลาคือ 11

บทสรุป

โดยสรุป ข้อมูลประชากรหมายถึงจำนวนบุคคลทั้งหมดในกลุ่มที่มีลักษณะร่วมกัน สูตรความแปรปรวนจะวัดระดับความแปรผันของข้อมูลประชากร ในขณะที่สูตรค่าเฉลี่ยจะคำนวณแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางของข้อมูลประชากร เมื่อเข้าใจวิธีการคำนวณความแปรปรวนและค่าเฉลี่ย นักสถิติสามารถได้รับข้อมูลเชิงลึกที่มีค่าจากข้อมูลประชากร

การคำนวณค่าเฉลี่ยและการวัดการกระจายข้อมูล

การคำนวณค่าเฉลี่ย

เพื่อหาค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูล จะต้องนำผลรวมของข้อมูลทั้งหมดหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด สูตรสำหรับการคำนวณค่าเฉลี่ย (Mean) คือ:

Mean (ค่าเฉลี่ย) = ผลรวมของข้อมูล / จำนวนข้อมูลทั้งหมด

เช่น หากเรามีชุดข้อมูลดังต่อไปนี้: 2, 4, 6, 8, 10 แล้วต้องการหาค่าเฉลี่ยของข้อมูลดังกล่าว

Mean = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลดังกล่าวคือ 6

การวัดการกระจายข้อมูล

หลังจากที่ได้หาค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลแล้ว เราสามารถวัดการกระจายของข้อมูลได้โดยการหาค่าต่างของแต่ละจุดข้อมูลจากค่าเฉลี่ย การวัดการกระจายข้อมูลสามารถใช้สูตรสำหรับคำนวณค่าความแปรปรวน (Variance) และสูตรสำหรับคำนวณค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) ได้ สูตรสำหรับคำนวณค่าความแปรปรวนและค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ตามลำดับ คือ:

Variance (ความแปรปรวน) = (Σ(xi – μ)²) / n

Standard Deviation (ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน) = √(Variance)

โดยที่:

xi = จุดข้อมูลที่ i
μ = ค่าเฉลี่ยของข้อมูล
n = จำ

หาค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของชุดข้อมูล

หาค่าเฉลี่ย

การหาค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลนั้นเป็นวิธีการที่นิยมใช้งานกันอย่างแพร่หลาย เพื่อแสดงถึงค่ากลางของชุดข้อมูล ซึ่งสามารถหาได้โดยการบวกค่าทุกตัวในชุดข้อมูลด้วยกันแล้วหารด้วยจำนวนของตัวแปรทั้งหมดในชุดข้อมูล

สูตรสำหรับการหาค่าเฉลี่ย: μ = (∑x) / n

เมื่อ