สมการกำลังสอง – สูตรคำนวณ วิธีการแก้ และตัวอย่าง

สมการกำลังสองเป็นสมการพหุนามระดับสอง และมีรูปแบบเป็น ax2 + bx + c = 0 คำว่า “กำลังสอง” มาจากคำว่า “quadratus” ในภาษาละตินซึ่งหมายถึง “square” หรือ “สี่เหลี่ยมผืนผ้า” ซึ่งแสดงถึงการยกกำลังของตัวแปร x ในสมการนั้นๆ กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการกำลังสองเป็น “สมการระดับ 2” โดยมีการนำไปใช้ในหลายสถานการณ์ เช่น ท่าเรือเมื่อถูกปล่อยจะมีพิกัดของตำแหน่งที่อึดอัด และถูกอธิบายด้วยสมการกำลังสอง นอกจากนี้ สมการกำลังสองยังมีการนำไปใช้ในด้านกฎหมาย วิศวกรรมศาสตร์ ดาราศาสตร์ เป็นต้น

สมการกำลังสองมีคำตอบสูงสุด 2 ค่าที่อาจเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน 2 ค่านี้ (ค่าของ x) ยังเรียกว่ารากของสมการกำลังสองและมักใช้เครื่องหมาย (α, β) เพื่อแทนค่าของรากในสมการกำลังสอง ท่านจะได้รู้จักกับรากของสมการกำลังสองเพิ่มเติมในเนื้อหาด้านล่างนี้

สมการกำลังสองคืออะไร?

สมการกำลังสองเป็นสมการพหุนามระดับสองในตัวแปร x โดยสมการกำลังสองมีรูปแบบมาตรฐานเป็น ax2 + bx + c = 0 โดย a และ b เป็นค่าสัมประสิทธิ์ x เป็นตัวแปรและ c เป็นค่าคงที่ สิ่งที่สำคัญสำหรับสมการเป็นสมการกำลังสองคือ ตัวคูณของ x2 ต้องไม่เป็นศูนย์ (a ≠ 0) สำหรับการเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบมาตรฐาน จะเริ่มต้นด้วยตัวแปร x2 ตามด้วยตัวแปร x และสุดท้ายคือค่าคงที่

คำจำกัดความของสมการกำลังสองคืออะไร

สมการกำลังสองในคณิตศาสตร์เป็นสมการระดับสองของรูปแบบ ax2 + bx + c = 0 โดยที่ a และ b เป็นตัวคูณ c เป็นค่าคงที่ และ x เป็นตัวแปร โดยเนื่องจากตัวแปร x เป็นกำลังสอง จึงมีรากหรือคำตอบสองค่าสำหรับสมการกำลังสองนี้ สามารถหารากของสมการกำลังสองได้โดยใช้วิธีการแยกตัวประกอบหรือสูตรสมการกำลังสอง

รูปแบบของสมการกำลังสองในตัวจริง

ในการแก้ไขปัญหาคณิตศาสตร์จริง สมการกำลังสองถูกนำเสนอในรูปแบบต่างๆ เช่น (x – 1)(x + 2) = 0, -x2 = -3x + 1, 5x(x + 3) = 12x, x3 = x(x2 + x – 3) ทั้งหมดนี้ต้องถูกแปลงให้เป็นรูปแบบมาตรฐานของสมการกำลังสองก่อนดำเนินการต่อไป

วิธีการแปลงสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

1. สมการ x(x + 3) = 12x จะถูกแปลงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเป็น x2 + 3x – 12 = 0

2. สมการ (x – 1)(x + 2) = 0 จะถูกแปลงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานเป็น x2 + x – 2 = 0

รากของสมการกำลังสอง

รากของสมการกำลังสองคือค่า x ที่ได้จากการแก้สมการกำลังสอง โดยสมการกำลังสองจะมีรากสองค่า โดยรากของสมการกำลังสองนี้ยังเรียกว่าศูนย์ของสมการ ตัวอย่างเช่น รากของสมการ x2 – 3x – 4 = 0 คือ x = -1 และ x = 4 เนื่องจากทั้งสองค่านี้สามารถทำให้สมการเป็นจริงได้ คือ

เมื่อ x = -1 จะได้ (-1)2 – 3(-1) – 4 = 1 + 3 – 4 = 0

เมื่อ x = 4 จะได้ (4)2 – 3(4) – 4 = 16 – 12 – 4 = 0

มีวิธีหลายวิธีในการหารากของสมการกำลังสอง แต่วิธีหนึ่งที่นิยมใช้กันคือใช้สูตรกำลังสอง

สูตรกำลังสอง

สูตรกำลังสองเป็นสูตรที่ใช้หารากของสมการกำลังสอง สูตรนี้เขียนได้เป็น x = (-b ± √(b2 – 4ac)) / 2a โดยที่ a, b, และ c คือค่าสัมประสิทธิ์ในสมการ ax2 + bx + c = 0

วิธีการหารากของสมการกำลังสองด้วยสูตรกำลังสอง

1. ตรวจสอบว่าสมการเป็นสมการกำลังสองและในรูปแบบมาตรฐาน ax2 + bx + c = 0 โดยตรวจสอบว่า a ≠ 0

2. กำหนดค่าสำหรับ a, b และ c

3. นำค่า a, b และ c มาใส่ลงในสูตรกำลังส

สูตรกำลังสอง

สูตรกำลังสองเป็นวิธีง่ายที่สุดในการหารากของสมการกำลังสอง บางสมการกำลังสองไม่สามารถแยกตัวอย่างง่ายได้ และในกรณีนี้เราสามารถใช้สูตรกำลังสองเพื่อหารากได้อย่างสะดวกและรวดเร็ว สูตรกำลังสองนี้จะแสดงรากสองค่าเป็นสูตรเดียวกัน โดยสัญลักษณ์บวกและสัญลักษณ์ลบสามารถใช้ได้เพื่อหารากสองค่าที่แตกต่างกันของสมการ

สูตรกำลังสอง

รากของสมการกำลังสอง ax2 + bx + c = 0 คือ x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a

สูตรนี้ยังเป็นที่รู้จักในชื่อสูตรของชรีธารชาร์ยา หรือ Sridharacharya formula

ตัวอย่างการหารากของสมการกำลังสองโดยใช้สูตรกำลังสอง

ให้หารากของสมการเดียวกันที่ได้กล่าวไปก่อนหน้านี้ x2 – 3x – 4 = 0 โดยใช้สูตรกำลังสอง

a = 1, b = -3, และ c = -4

x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a

= [-(-3) ± √((-3)2 – 4(1)(-4))]/2(1)

= [3 ± √25] / 2

= [3 ± 5] / 2

= (3 + 5)/2 หรือ (3 – 5)/2

= 8/2 หรือ -2/2

= 4 หรือ -1 เป็นราก

การพิสูจน์สูตรกำลังสอง

พิจารณาสมการกำลังสอ

ลักษณะของรากของสมการกำลังสอง

รากของสมการกำลังสองมักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์อัลฟา (α) และเบต้า (β) โดยที่เราจะเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการหาลักษณะของรากของสมการกำลังสองโดยไม่ต้องหาจริงๆ รากของสมการ

การหาลักษณะของรากของสมการกำลังสองสามารถทำได้โดยไม่ต้องหาราก (α, β) ของสมการจริงๆ นั่นเป็นไปได้โดยการใช้ค่าดีสคริมินันต์ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของสูตรในการแก้สมการกำลังสอง ค่า b2 – 4ac จะเรียกว่าดีสคริมินันต์ของสมการกำลังสองและได้รับการกำหนดเป็น ‘D’ โดยอิงตามค่าดีสคริมินันต์เราสามารถทำนายลักษณะของรากของสมการกำลังสองได้

ดีสคริมินันต์

D = b2 – 4ac

• D > 0 รากจะเป็นจำนวนจริงและแตกต่างกัน
• D = 0 รากจะเป็นจำนวนจริงและเท่ากัน
• D < 0 รากไม่มีหรือเป็นจำนวนจินตภาพ

ต่อมาเราจะได้เรียนรู้สูตรสำหรับหาผลรวมและผลคูณของรากของสมการกำลังสอง

ผลรวมและผลคูณของรากของสมการกำลังสอง

ตัวประกอบของ x2, ราย

สูตรที่เกี่ยวข้องกับสมการกำลังสอง

รายการสูตรที่สำคัญดังต่อไปนี้จะช่วยให้เราแก้สมการกำลังสองได้อย่างง่ายดาย

• สมการกำลังสองในรูปแบบมาตรฐานของมันคือ ax2 + bx + c = 0
• ดีสคริมินันต์ของสมการกำลังสองคือ D = b2 – 4ac
• สำหรับ D > 0 รากจะเป็นจำนวนจริงและแตกต่างกัน
• สำหรับ D = 0 รากจะเป็นจำนวนจริงและเท่ากัน
• สำหรับ D < 0 รากจะไม่มีหรือเป็นจำนวนจินตภาพ
• สูตรในการหารากของสมการกำลังสองคือ x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a
• ผลรวมของรากของสมการกำลังสองคือ α + β = -b/a
• ผลคูณของรากของสมการกำลังสองคือ αβ = c/a
• สมการกำลังสองที่มีรากเท่ากันคือ x2 – (α + β)x + αβ = 0
• เงื่อนไขสำหรับสมการกำลังสอง a1x2 + b1x + c1 = 0 และ a2x2 + b2x + c2 = 0 ที่มีรากเท่ากันคือ (a1b2 – a2b1) (b1c2 – b2c1) = (a2c1 – a1c2)2
• เมื่อ a > 0 นิพจน์กำลังสอง f(x) = ax2 + bx + c จะมีค่าน้อยที่สุดที่ x = -b/2a
• เมื่อ a < 0 นิพจน์กำลังสอง f(x) = ax2 + bx + c จะมีค่ามากที่สุดที่ x = -b/2a

วิธีแก้สมการกำลังสองด้วยการแยกตัวประกอบ

ขั้นตอนการแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง

ขั้นตอนแรกของการแยกตัวประกอบสมการกำลังสองในรูปของสมการทั่วไป ax2 + bx + c = 0 คือต้องแยกช่องกลางของสมการออกเป็นสองรูปแบบ โดยให้ผลคูณของสองรูปแบบนั้นเท่ากับค่าคงที่ c หลังจากนั้นให้นำอัตราส่วนร่วมของตัวแปรในสมการมาจัดเรียงเป็นรูปดังนี้

x2 + (a + b)x + ab = 0

x2 + ax + bx + ab = 0

x(x + a) + b(x + a)

(x + a)(x + b) = 0

ตัวอย่างการแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง

สมการ x2 + 5x + 6 = 0

โดยแยกตัวประกอบได้เป็น x2 + 2x + 3x + 6 = 0

จากนั้นจัดเรียงให้อยู่ในรูป x(x + 2) + 3(x + 2) = 0

และนำไปแยกตัวประกอบเป็น (x + 2)(x + 3) = 0

ดังนั้น สองตัวประกอบของสมการกำลังสอง x2 + 5x + 6 คือ (x + 2) และ (x + 3)

เพื่อหาค่าของตัวแปร x ที่เป็นรากของสมการ ต้องนำสองตัวประกอบที่ได้ไปตั้งเป็นศูนย์ แล้วแก้สมการในแต่ละตัวแปร กล่าวคือ x + 2 = 0 และ x + 3 = 0 จากนั้นแก้สมการเหล่านี้เพื่อหาค่า

คุณกำลังดู: สมการกำลังสอง – สูตรคำนวณ วิธีการแก้ และตัวอย่าง

วิธีการสมบูรณ์กำลังสอง

วิธีการสมบูรณ์กำลังสองในสมการกำลังสองคือการยกกำลังและหารด้วยตัวประกอบให้เป็นแนวคิดของรากของสมการ โดยพิจารณาสมการกำลังสองในรูปของ ax2 + bx + c = 0 โดย a ≠ 0 ในการหารากของสมการนี้ เราสามารถทำการกระทำเพื่อมายังผลลัพธ์ดังนี้

ax2 + bx + c = 0

ax2 + bx = -c

x2 + bx/a = -c/a

จากนั้นเราจะนำส่วนด้านซ้ายมือของสมการมาแปลงให้เป็นรูปของ perfect square โดยเพิ่มเติมข้อกำหนดใหม่ (b/2a)2 ลงไปบนทั้งสองข้างของสมการดังนี้

x2 + bx/a + (b/2a)2 = -c/a + (b/2a)2

(x + b/2a)2 = -c/a + b2/4a2

(x + b/2a)2 = (b2 – 4ac)/4a2

x + b/2a = +√(b2- 4ac)/2a

x = – b/2a +√(b2- 4ac)/2a

หรือ x = [-b ± √(b2 – 4ac)]/2a

ในสมการกำลังสองนี้ เครื่องหมาย ‘+’ จะให้ค่ารากหนึ่ง และเครื่องหมาย ‘-‘ จะให้ค่ารากหนึ่งอีกตัว โดยทั่วไปวิธีการยุบรวมสมการเป็นแบบย่อหน้านี้ไม่ได้นำมาใช้ เนื่องจากนิยมใช้สูตรกำลังสองที่สะดวกและรวดเร็วกว่าเพื่อหาค่าของรากของสมการที่ต้องการ

การวาดกราฟของสมการกำลังสอง

กราฟของสมการกำลังสอง ax2 + bx + c = 0 สามารถได้รับการแสดงผลได้โดยการแทนสมการกำลังสองนี้ด้วยฟังก์ชั่น y = ax2 + bx + c นอกจากนี้เราสามารถหาค่า y ได้โดยแก้สมการและใช้ค่า x และ y ในการสร้างจุดหลายจุด จุดเหล่านี้สามารถนำมาแสดงบนแกนพิกัดเพื่อให้ได้กราฟรูปทรงประเภทพาราโบลาสำหรับสมการกำลังสอง

จุดที่กราฟตัดแกน x แนวนอน (ซึ่งมักเรียกว่าจุดตัดแกน x) เป็นคำตอบของสมการกำลังสอง จุดเหล่านี้ยังสามารถหาได้อย่างตรงไปตรงมาโดยการตั้งค่า y เป็น 0 ในฟังก์ชั่น y = ax2 + bx + c และแก้สมการเพื่อหาค่า x

สมการกำลังสองที่มีรากซ้ำกัน

พิจารณาสมการกำลังสองสองสมการที่มีรากซ้ำกัน a1x2 + b1x + c1 = 0 และ a2x2 + b2x + c2 = 0 เราจะแก้สองสมการเหล่านี้เพื่อหาเงื่อนไขที่สมการเหล่านี้มีรากที่เหมือนกัน สองสมการนี้แก้สำหรับ x2 และ x ตามลำดับ

(x2)(b1c2 – b2c1) = (-x)/(a1c2 – a2c1) = 1/(a1b2 – a2b1)

x2 = (b1c2 – b2c1) / (a1b2 – a2b1)

x = (a2c1 – a1c2) / (a1b2 – a2b1)

ดังนั้น โดยการบีบอัดสูตรข้างต้น เราจะได้เงื่อนไขดังต่อไปนี้สำหรับสมการสองสมการที่มีรากซ้ำกัน

(a1b2 – a2b1) (b1c2 – b2c1) = (a2c1 – a1c2)2

ค่าสูงสุดและต่ำสุดของสมการกำลังสอง

ค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชั่นกำลังสอง F(x) = ax2 + bx + c สามารถสังเกตได้จากกราฟด้านล่าง สำหรับค่า a ที่เป็นบวก (a > 0) สมการกำลังสองจะมีค่าต่ำสุดที่ x = -b/2a และสำหรับค่า a ที่เป็นลบ (a < 0) สมการกำลังสองจะมีค่าสูงสุดที่ x = -b/2a ดังนั้น x = -b/2a คือพิกัด x ของจุดยอดของพาราโบลา

ค่าสูงสุดและต่ำสุดของสมการกำลังสองยังช่วยในการหาช่วงของสมการกำลังสองได้อีกด้วย: ช่วงของสมการกำลังสองขึ้นอยู่กับค่า a ถ้า a เป็นค่าบวก (a > 0) ช่วงของสมการกำลังสองคือ [F(-b/2a), ∞) และถ้า a เป็นค่าลบ (a < 0) ช่วงของสมการกำลังสองคือ (-∞, F(-b/2a)]

สำหรับ a > 0, ช่วง: [ f(-b/2a), ∞)

สำหรับ a < 0, ช่วง: (-∞, f(-b/2a)]

โดยทั่วไปการเข้าใจเกี่ยวกับสมการกำลังสองจะช่วยให้แก้สมการกำลังสองได้ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น:

• สมการกำลังสองโดยทั่วไปจะแก้ได้โดยการหาตัวประกอบ แต่ในกรณีที่ไม่สามารถแก้ได้โดยการหาตัวประกอบต้องใช้สูตรสมการกำลังสอง
• รากของสมการ

วิธีการแก้สมการกำลังสองด้วยการวาดกราฟ

สมการกำลังสองสามารถแก้ได้โดยวิธีการวาดกราฟในลักษณะเดียวกับสมการเชิงเส้น โดยกำหนดสมการ ax2 + bx + c = 0 เป็น y = ax2 + bx + c แล้วกำหนดชุดค่าของ x และ y แล้ว plot กราฟ จากนั้นจะสามารถหาจุดที่กราฟตัดแกน x ได้เป็นคำตอบของสมการกำลังสองนี้

ความสำคัญของตัวแยกประกอบในสมการกำลังสอง

ตัวแยกประกอบเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องใช้ในการหาลักษณะของรากของสมการกำลังสอง หากไม่มีตัวแยกประกอบ การหาลักษณะของรากของสมการกำลังสองจะเป็นกระบวนการยาว ก่อนที่จะหาลักษณะของรากของสมการได้ต้องแก้สมการก่อน ดังนั้น ตัวแยกประกอบเป็นประการที่สำคัญและจำเป็นต้องมีเพื่อช่วยในการหาลักษณะของรากของสมการกำลังสอง

หาเครื่องมือแก้สมการกำลังสองได้ที่ไหน?

เครื่องมือแก้สมการกำลังสองสามารถหาได้ที่นี่ ในเครื่องมือนี้ จะต้องใส่ค่า a, b, และ c สำหรับสมการ ax2 + bx + c = 0 แล้วจะแสดงผลลัพธ์ของรากพร้อมกับขั้นตอนวิธีการแก้ไข