วงกลมหน่วย เรียกว่าวงกลมหน่วยเพราะมีรัศมีเท่ากับหนึ่งหน่วย วงกลมเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ปิดกั้นและไม่มีด้านหรือมุมใดๆ เวลานำสมการของวงกลมมาคำนวณ เราสามารถนำสมการของวงกลมหน่วยมาใช้ได้เช่นกัน นอกจากนี้ วงกลมหน่วยยังช่วยให้เราสามารถหาค่ามุมมุ่งหน้าได้ของสัมประสิทธิ์ทริกโนเมตริกทั้งหมด ในบทเรียนนี้เราจะเรียนรู้สมการของวงกลมหน่วยและเข้าใจวิธีการแสดงตำแหน่งของจุดบนรอบวงของวงกลมหน่วยด้วยค่าสัมประสิทธิ์ทริกโนเมตริก cosθ และ sinθ

วงกลมหน่วยคืออะไร?

วงกลมหน่วยคือวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 1 หน่วย เราสามารถแสดงวงกลมหน่วยได้ในระบบพิกัดแบบคาร์ทีเซียน และสามารถแสดงสมการของวงกลมหน่วยด้วยสมการอนุพันธ์ชั้นสองที่มีตัวแปร x และ y 2 ตัว วงกลมหน่วยมีการนำไปใช้ในสายตรงโทรจันทร์และช่วยให้เราสามารถหาค่าของสัมประสิทธิ์ทริกโนเมตริกได้ เช่น sin, cos, tan

คำจำกัดความของวงกลมหน่วย

วงกลมหน่วยเป็นที่อยู่ของจุดที่อยู่ห่างจากจุดคงที่ 1 หน่วย โดยเรียกว่ารัศมีหน่วย หรือเรียกได้ว่าเป็นเส้นรอบวงกลมขนาด 1 หน่วย

สมการของวงกลมหน่วย

สมการทั่วไปของวงกลมคือ (x – a)2 + (y – b)2 = r2 ซึ่งแสดงถึงวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (a, b) และรัศมี r ดังนั้น สมการของวงกลมหน่วยถูกเรียบง่ายเพื่อแสดงสมการของวงกลมหน่วย วงกลมหน่วยมีจุดศูนย์กลางที่ (0,0) ซึ่งเป็นต้นแบบของแกนพิกัดและมีรัศมีเท่ากับ 1 หน่วย ดังนั้น สมการของวงกลมหน่วยคือ (x – 0)2 + (y – 0)2 = 12 โดยที่ x และ y คือพิกัดของจุดบนรอบวงกลม การเรียบง่ายสมการนี้จะได้สมการของวงกลมหน่วย คือ x2 + y2 = 1

สมการของวงกลมหน่วย: x2 + y2 = 1

สำหรับวงกลมหน่วย จุดศูนย์กลางตั้งอยู่ที่ (0,0) และรัศมีมีค่าเท่ากับ 1 หน่วย สมการข้างต้นนี้ทำให้เห็นได้ว่า สมการนี้เป็นไปตามจุดบนวงกลมทุกจุดในทุกๆส่วนของสี่แห่ง

การหาฟังก์ชันทริกโนเมตริกโดยใช้วงกลมหน่วย

เราสามารถคำนวณค่าของฟังก์ชันทริกโนเมตริก เช่น sine, cosine และ tangent โดยใช้วงกลมหน่วยได้ เราสามารถนำทฤษฎีพีทาโกรัสมาใช้ในวงกลมหน่วยเพื่อเข้าใจฟังก์ชันทริกโนเมตริก พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่ตั้งอยู่ในวงกลมหน่วยในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน รัศมีของวงกลมหน่วยจะแสดงถึงด้านตรงข้ามของมุมฉาก และเวกเตอร์รัศมีจะมีมุม θ กับแกน x บวก จุดปลายทางของเวกเตอร์รัศมีจะมีพิกัดเป็น (x, y) ที่นี่ค่าของ x และ y จะแสดงความยาวของด้านฐานและด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ซึ่งจะมีค่าเท่ากับ 1 ทำให้เราสามารถหาค่าของสัมประสิทธิ์ทริกโนเมตริกได้ดังนี้

sinθ = ด้านตรงข้ามมุมฉาก / ด้านตรงข้ามศูนย์กลาง = y / 1

cosθ = ด้านฐาน / ด้านตรงข้ามศูนย์กลาง = x / 1

ด้วยสมการนี้ เราสามารถหาค่าของ sinθ และ cosθ โดยใช้ค่า x และ y และด้วยการนำค่า sinθ และ cosθ มาใช้กับสมการ tanθ = sinθ / cosθ เราสามารถหาค่าของฟังก์ชันทริกโนเมตริก tan

วงกลมหน่วยพร้อม Sin, Cos และ Tan

จุดบนวงกลมหน่วยจะมีพิกัด (x, y) ซึ่งเท่ากับสัมประสิทธิ์ของ cosθ และ sinθ สำหรับค่า θ ใดๆ ที่รัศมีผ่านกับแกน x บวก จุดปลายทางของเวกเตอร์รัศมีจะแสดงค่าคอสและไซน์ของค่า θ นั่นคือ cosθ = x และ sinθ = y และค่าเหล่านี้สามารถนำมาคำนวณค่าของสัมประสิทธิ์ทริกโนเมตริกอื่น ๆ ได้ โดยใช้สมการ tanθ = sinθ/cosθ หรือ tanθ = y/x

สำคัญอีกอย่างหนึ่งที่ต้องเข้าใจคือค่า sinθ และ cosθ จะอยู่ระหว่าง 1 และ -1 และมีค่ารัศมีเท่ากับ 1 โดยมีค่าเท่ากับ -1 บนแกน x ที่ติดลบ วงกลมทั้งหมดแสดงถึงมุมที่เต็ม 360º และสี่เส้นของส่วนของวงกลมจะมีมุมที่เป็นไปได้เท่ากับ 90º, 180º, 270º และ 360º (0º) ที่มีค่า cosθ เท่ากับ 0 ที่มุม 90º และ 270º และทำให้ค่าของสัมประสิทธิ์ทริกโนเมตริก tan ที่มุมนี้ไม่มีค่านิยม

ตัวอย่าง: หาค่า tan 45º โดยใช้ค่า sin และ cos จากวงกลมหน่วย

วิธีการ:

เราทราบว่า tan 45° = sin 45° / cos 45°

โดยใช้ตารางวงกลมหน่วย:

sin 45° = 1/√2

cos 45° = 1/√2

READ: พื้นที่ของวงกลม - สูตรคำนวณ การนำทฤษฎีมาประยุกต์ใช้ และตัวอย่าง

ตารางวงกลมหน่วยในหน่วยเรเดียน

วงกลมหน่วยแสดงมุมเต็ม 2π หน่วยเรเดียน และวงกลมหน่วยถูกแบ่งออกเป็นสี่แห่งที่มีมุมที่ π/2, π, 3π/2 และ 2π ตามลำดับ ต่อไปนี้ในส่วนที่หนึ่งของวงกลมหน่วยที่มุม 0, π/6, π/4, π/3, π/2 เป็นค่ามาตรฐานที่สามารถนำไปใช้กับสัมประสิทธิ์ทริกโนเมตริกได้ จุดบนวงกลมหน่วยสำหรับมุมเหล่านี้แสดงค่ามาตรฐานของสัมประสิทธิ์คอสและไซน์ ดูจากภาพด้านล่าง เราจะพบว่าค่าซ้ำกันในสี่แห่งทั้งหมด แต่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ซึ่งเกิดจากแกน x และแกน y ที่เป็นจำนวนเต็มบวกด้านหนึ่งและเป็นจำนวนเต็มลบด้านหนึ่งของจุดกึ่งกลาง ด้วยความช่วยเหลือของนี้ เราสามารถคำนวณค่าของสัมประสิทธิ์ทริกโนเมตริกของมุมมาตรฐานได้ง่ายๆ บนสี่แห่งทั้งหมดของวงกลมหน่วย

วงกลมหน่วยและอสมการตรีโกณมิติ

อสมการของวงกลมหน่วยของ sine, cosecant, และ tangent สามารถนำไปใช้เพื่อหาอสมการตรีโกณมิติอื่น ๆ เช่น cotangent, secant และ cosecant อสมการของวงกลมหน่วยเช่น cosecant, secant, cotangent เป็นตัวตรงกันข้ามของ sine, cosine, และ tangent ต่อไป เราสามารถหาค่าของ tanθ โดยหาร sinθ ด้วย cosθ และสามารถหาค่าของ cotθ โดยหาร cosθ ด้วย sinθ

สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากที่วางอยู่บนวงกลมหน่วยในระนาบจำนวนจริง โดยมีเส้นฐาน ด้านตรงข้ามมุมฉากและสูง มีค่าเท่ากับ 1, x และ y ตามลำดับ อสมการของวงกลมหน่วยสามารถแสดงได้ดังนี้

sinθ = y/1
cosθ = x/1
tanθ = sinθ/cosθ = y/x
sec(θ) = 1/x
csc(θ) = 1/y
cot(θ) = cosθ/sinθ = x/y

วงกลมหน่วยและอสมการไพธาโกรน

อสมการไพธาโกรนสามสำคัญของอัตราส่วนตรีโกณมิติสามารถเข้าใจและพิสูจน์ได้ง่ายด้วยวงกลมหน่วย ทฤษฎีไพธาโกรนระบุว่าในสามเหลี่ยมมุมฉาก พื้นที่จัตุรัสกลางเท่ากับผลรวมของพื้นที่สองด้านที่เหลือกัน สามสมการไพธาโกรนในตรีโกณมิติ มีดังนี้

sin²θ + cos²θ = 1
1 + tan²θ = sec²θ
1 + cot²θ = csc²θ

ที่นี่เราจะพยายามพิสูจน์สมการแรกด้วยการใช้ทฤษฎีไพธาโกรน ให้เรานำ x และ y เป็นขาของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 1 หน่วย โดยใช้ทฤษฎีไพธาโกรน เราจะได้ว่า x² + y² = 1 ซึ่งแสดงถึงสมการของวงกลมหน่วย นอกจากนี้ในวงกลมหน่วย เรายังมี x = cosθ และ y = sinθ และการนำมาใช้กับสมการข้างต้นจะได้ cos²θ + sin²θ = 1 ดังนั้นเราได้พิสูจน์สมการแรกได้อย่างสำเร็จ นอกจากนี้ เรายังสามารถพิสูจน์สมการไพธาโกรนอื่น ๆ ได้อีกด้วยภายในวงกลม

นิยามวงกลมหน่วย

จุดต่างๆ บนวงกลมหน่วยที่ห่างจากจุดตั้งต้นห่างไประยะทาง 1 หน่วยเรียกว่าวงกลมหน่วย

สมการวงกลมหน่วย

สมการของวงกลมทั่วไปคือ (x – a)² + (y – b)² = r² ซึ่งแทนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง (a,b) และมีรัศมี r ส่วนสมการของวงกลมหน่วยนั้น คือเมื่อวงกลมมีจุดศูนย์กลางที่จุดเริ่มต้น (0,0) และมีรัศมี 1 หน่วย สมการของวงกลมหน่วยจะเป็น (x – 0)² + (y – 0)² = 1² ซึ่งแบ่งเป็นสมการของวงกลมหน่วยเป็น

สมการวงกลมหน่วย: x² + y² = 1

สำหรับวงกลมหน่วยนี้ จุดศูนย์กลางตั้งอยู่ที่ (0,0)

หน่วยวงกลมในระนาบเชิงซ้อน

ความหมายของหน่วยวงกลม

หน่วยวงกลมประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 ดังนั้น มีสมการเป็น |z| = 1 หรือจะบอกได้ว่าจุดบนวงกลมมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1

นอกจากนี้ จุดเชิงซ้อนใดๆ ที่มีรูปแบบ z = x + (i)y ก็จะอยู่บนหน่วยวงกลมด้วย โดยสมการของวงกลมคือ x² + y² = 1

ความหมายของหน่วยวงกลมในรูปแบบเชิงซ้อน

หน่วยวงกลมสามารถถูกพิจารณาเป็นจำนวนเชิงซ้อนในระนาบเชิงซ้อน โดยเซตของจำนวนเชิงซ้อน z ที่กำหนดโดยรูปแบบ

z = e(i)t = cos t + (i) sin t = cis(t)

สมการด้านบนเป็นสูตรของ Euler’s formula ที่อธิบายว่า จำนวนเชิงซ้อน z สามารถแสดงได้ในรูปแบบของฟังก์ชันคณิตศาสตร์เป็นเวกเตอร์ขนาด 1 บนวงกลมในระนาบเชิงซ้อน

คุณกำลังดู: หน่วยวงกลม – สมการของหน่วยวงกลม

หน่วยวงกลมในคณิตศาสตร์

ความหมายของหน่วยวงกลมในคณิตศาสตร์

หน่วยวงกลมเป็นวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับหนึ่งหน่วย โดยทั่วไป หน่วยวงกลมจะถูกแสดงในระนาบพิกัดโดยมีจุดศูนย์กลางที่จุด (0,0) หรือจุดเริ่มต้น สมการของหน่วยวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับหนึ่งหน่วยและมีจุดศูนย์กลางที่ (0,0) เป็น x² + y² = 1

นอกจากนี้ หน่วยวงกลมยังมีการประยุกต์ใช้ในทริกโนเมตรี และใช้สำหรับค้นหาค่าหลักของอัตราส่วนทริกโนเมตรี sin และ cosine

วิธีการหาค่า sin และ cosine โดยใช้หน่วยวงกลม

หน่วยวงกลมสามารถใช้สำหรับค้นหาค่า sinθ และ cosineθ ได้ ในหน่วยวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางที่ (0, 0) ให้เราเลือกตัวเลขรัศมีที่เอนไปที่แกน x ที่มีมุมเท่ากับ θ และจุดปลายของเส้นรัศมีเป็น (x, y) วาดเส้นประชีวิตจากจุดปลายของรัศมีไปยังแกน x แล้ววาดเส้นตรงมุมฉากกับเส้นรัศมี ซึ่งจะสร้างเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านที่เข้าไปข้างใ

การหาจุดปลายของเส้นรัศมีบนหน่วยวงกลม

วิธีการหาจุดปลายของเส้นรัศมีบนหน่วยวงกลม

การหาจุดปลายของเส้นรัศมีบนหน่วยวงกลมสามารถทำได้โดยใช้สมการของหน่วยวงกลม x² + y² = 1 หากจุดที่กำหนดตรงกันกับสมการนี้ แสดงว่าจุดนั้นอยู่บนหน่วยวงกลม นอกจากนี้ จุดปลายของเส้นรัศมีบนหน่วยวงกลมสามารถหาได้จากค่า cosθ และ sinθ ของมุม θ

สมการของหน่วยวงกลม

สมการของหน่วยวงกลมเป็น x² + y² = 1 โดยสมการนี้เหมาะสำหรับหน่วยวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด (0,0) และมีรัศมีเท่ากับ 1 หน่วย

READ: มุมที่สอดคล้องกัน - คำนิยาม, ทฤษฎี, และตัวอย่าง

วิธีการคำนวณสมการหน่วยวงกลม

สมการของหน่วยวงกลมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรระยะทางของเรขาคณิต สำหรับวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดเริ่มต้น (0,0) และมีรัศมีเท่ากับ 1 หน่วย ให้เลือกจุดบนวงกลมเป็น (x, y) โดยประยุกต์การใช้นิยามของวงกลม และใช้สูตรระยะทาง เราจะได้ (x-0)2 + (y-0)2 = 1 ซึ่งสามารถรวมเป็นสมการ x² + y² =

ความเชื่อมโยงระหว่างสามเหลี่ยมมุมฉากและหน่วยวงกลม

สามเหลี่ยมมุมฉากและหน่วยวงกลมเชื่อมโยงกันอย่างเดียวกัน จุดใดบนหน่วยวงกลมสามารถมองเห็นได้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใช้เส้นรัศมีเป็นพญานาคของสามเหลี่ยมมุมฉากและพิกัดของจุดเป็นด้านอื่น ๆ ของสามเหลี่ยมมุมฉาก สมการของวงกลม x² + y² = 1 ตรงกับทฤษฎีพีธากอรัสในสามเหลี่ยมมุมฉาก เส้นรัศมีในหน่วยวงกลมยังมีประโยชน์ในการคำนวณค่าอัตราส่วนทริกโนเมตรี

การใช้งานหน่วยวงกลม

หน่วยวงกลมเป็นอย่างมากใช้ในทริกโนเมตรี สำหรับค่าอัตราส่วนทริกโนเมตรีของ sinθ, cosθ และ tanθ ค่ามุมหลักที่มีค่าเป็น 0º, 30º, 45º, 60º, 90º สามารถคำนวณได้อย่างสะดวกโดยใช้หน่วยวงกลม นอกจากนี้ หน่วยวงกลมยังเป็นที่นิยมใช้เพื่อแสดงเลขจำนวนซับซ้อนในระนาบอาร์กันด์