ฟังก์ชันในคณิตศาสตร์สามารถเปรียบเทียบกับการทำงานของเครื่องขายเครื่องดื่ม (โซดา) โดยเมื่อคุณใส่จำนวนเงินบางจำนวน คุณสามารถเลือกสินค้าได้หลายประเภท ในทางเดียวกันกับฟังก์ชัน เราใส่ตัวเลขต่างๆเข้าไปและจะได้ตัวเลขใหม่เป็นผลลัพธ์ โดเมนและเรนจ์เป็นส่วนสำคัญของฟังก์ชัน
คุณสามารถใช้เหรียญ 25 และธนบัตร 1 ดอลลาร์ในการซื้อโซดาได้ แต่ถ้านำเหรียญเพนนีมาใส่ จะไม่ได้รับรสของโซดาใดๆ ดังนั้นโดเมนแทนปัจจัยที่เราสามารถใช้ได้ที่นี่คือเหรียญ 25 และธนบัตร 1 ดอลลาร์
ไม่ว่าคุณจะใช้เงินจำนวนเท่าใด คุณจะไม่ได้รับชีสเบอร์เกอร์จากเครื่องขายเครื่องดื่ม ดังนั้นเรนจ์เป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ที่เราสามารถได้รับได้ที่นี่คือรสชาติของโซดาในเครื่อง
ให้เรามาเรียนรู้การหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน และระบายเส้นกราฟของฟังก์ชันด้วย
โดเมนและเรนจ์คืออะไร?
โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์คือเซตของค่า x-coordinates และ y-coordinates ของคู่ลำดับตามลำดับ ตัวอย่างเช่น ถ้าความสัมพันธ์คือ R = {(1, 2), (2, 2), (3, 3), (4, 3)} แล้ว:
โดเมน = เซตของ x-coordinates ทั้งหมด = {1, 2, 3, 4}
เรนจ์ = เซตของ y-coordinates ทั้งหมด = {2, 3}
การนำแนวคิดของโดเมนและเรนจ์มาใช้กับฟังก์ชัน
แนวคิดของโดเมนและเรนจ์ถูกนำมาใช้กับฟังก์ชันอีกด้วย
โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน
โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันเป็นส่วนประกอบของฟังก์ชัน โดเมนคือเซตของค่านำเข้าของฟังก์ชันทั้งหมดและเรนจ์คือผลลัพธ์ที่เป็นไปได้โดยฟังก์ชัน โดเมน → ฟังก์ชัน → เรนจ์ หากมีฟังก์ชัน f: A → B โดยที่ทุกๆ สมาชิกในเซต A ถูกแมพไปยังสมาชิกในเซต B แล้ว A คือโดเมนและ B คือโค-โดเมน
ภาพของสมาชิก ‘a’ ภายใต้ความสัมพันธ์ R จะได้ผลลัพธ์เป็น ‘b’ โดยที่ (a, b) ∈ R ระบุภาพของฟังก์ชันคือเซตของภาพ โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันแสดงได้โดยทั่วไปดังนี้: Domain(f) = {x ∈ R : เงื่อนไข} และ Range(f) = {f(x) : x ∈ domain(f)}
โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน f(x) = 2x คือ D = {x ∈ N} และ R = {y ∈ N: y = 2x} ดังนี้
โดเมนของฟังก์ชัน
โดเมนของฟังก์ชันหมายถึง “ค่าทั้งหมด” ที่สามารถนำเข้าไปยังฟังก์ชันได้โดยไม่ทำให้ได้ค่าที่ไม่ได้กำหนดไว้ กล่าวคือ โดเมนในคณิตศาสตร์คือเซตของค่านำเข้าที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับฟังก์ชัน
พิจารณากล่องด้านบนเป็นฟังก์ชัน f(x) = 2x หากใส่ค่า x = {1, 2, 3, 4, …} โดเมนก็คือเซตของจำนวนเต็มธรรมชาติ แต่โดยทั่วไป (หากไม่ระบุโดเมนเป็นจำนวนเต็มธรรมชาติ) f(x) = 2x จะถูกกำหนดค่าสำหรับค่าจำนวนจริงทั้งหมด ดังนั้นโดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่แสดงโดย (-∞, ∞) นี่คือสูตรทั่วไปที่ใช้ในการหาโดเมนของฟังก์ชันประเภทต่างๆ โดยที่ R คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด
กฏการหาโดเมนของฟังก์ชัน
- โดเมนของฟังก์ชันโพลิโนเมียล (เช่น ฟังก์ชันเส้นตรง ฟังก์ชันกำลังสอง ฟังก์ชันกำลังสาม เป็นต้น) คือ ℝ (เซตของจำนวนจริงทั้งหมด)
- โดเมนของฟังก์ชันรากที่สอง √x คือ x ≥ 0
- โดเมนของฟังก์ชันเอ
เรนจ์ของฟังก์ชัน
เรนจ์ของฟังก์ชันเป็นเซตของผลลัพธ์ทั้งหมดของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น: พิจารณาฟังก์ชัน f: A→ B โดยที่ f(x) = 2x และทั้ง A และ B เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ ในที่นี้เราเรียก A ว่าโดเมนและ B เป็นโค-โดเมน จากนั้นผลลัพธ์ของฟังก์ชันนี้ก็กลายเป็นเรนจ์ กล่าวคือ เรนจ์ = เซตของจำนวนธรรมชาติที่เป็นจำนวนคู่
สมาชิกของโดเมนเรียกว่าภาพตัวก่อนและสมาชิกของโค-โดเมนที่ถูกแมพเรียกว่าภาพ ที่นี่เรนจ์ของฟังก์ชัน f คือเซตของภาพของสมาชิกของโดเมน (หรือ) เซตของผลลัพธ์ทั้งหมดของฟังก์ชัน
กฏการหาเรนจ์ของฟังก์ชัน
- วิธีที่ดีที่สุดในการหาเรนจ์ของฟังก์ชันคือการวาดกราฟและดูค่า y ที่กราฟครอบคลุม แต่นี่คือกฎทั่วไปที่ใช้ในการหาเรนจ์ของฟังก์ชันต่างๆ โดยที่ ℝ เป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด
- เรนจ์ของฟังก์ชันเส้นตรงคือ ℝ
- เรนจ์ของฟังก์ชันกำลังสอง y = a(x – h)2 + k คือ: y ≥ k, หาก a > 0 และ y ≤ k, หาก a < 0
- เรนจ์ข
วิธีการคำนวณโดเมนและเรนจ์
สมมติว่า X = {1, 2, 3, 4, 5} และ Y = {1, 2, 3, 4, 5, 6} พิจารณาฟังก์ชัน f: X → Y โดยที่ R = {(x,y) : y = x+1}
- โดเมนคือค่านำเข้า ดังนั้น โดเมน = X = {1, 2, 3, 4, 5}
- เรนจ์ = ค่าผลลัพธ์ของฟังก์ชัน = {1 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 5 + 1} = {2, 3, 4, 5, 6}
โปรดทราบว่า Y เป็นโค-โดเมนในที่นี้ แต่ไม่ใช่เรนจ์
มาเข้าใจโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันบางประเภทต่างๆกันเถอะ
โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันกำลังเอ็กซ์โพเนนเชียล
ฟังก์ชัน y = ax, a ≥ 0 นิยามสำหรับจำนวนจริงทั้งหมด ดังนั้น โดเมนของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลคือเส้นตรงจำนวนจริงทั้งหมด ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลจะให้ผลลัพธ์เป็นค่าบวกเสมอ ดังนั้นเรนจ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นแบบ y = ax คือ {y ∈ ℝ: y > 0} ดังนั้น โดเมน = ℝ และเรนจ์ = (0, ∞)
ตัวอย่าง: ดูกราฟของฟังก์ชัน f: 2x จะเห็นว่าค่าของฟังก์ชันจะมีค่าใกล้เคียง 0 เมื่อ x เข
โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ดูกราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ จะเห็นได้ว่าค่าของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงตามรูปร่างของฟังก์ชัน โดยมีค่าอยู่ระหว่าง -1 ถึง 1 และนิยามสำหรับจำนวนจริงทั้งหมด
ดังนั้นสำหรับแต่ละฟังก์ชันไซน์และโคไซน์:
- โดเมน: โดเมนของฟังก์ชันเป็นเซต ℝ (หรือ) (-∞, + ∞)
- เรนจ์: เรนจ์ของฟังก์ชันคือ [-1, 1]
โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดแสดงด้านล่างนี้
| ฟังก์ชันตรีโกณมิติ | โดเมน | เรนจ์ |
|---|---|---|
| sin θ | (-∞, + ∞) | [-1, +1] |
| cos θ | (-∞, + ∞) | [-1, +1] |
| tan θ | ℝ – (2n + 1)π/2 | (-∞, +∞) |
| cot θ | ℝ – nπ | (-∞, +∞) |
| sec θ | ℝ – (2n + 1)π/2 | (-∞, -1] U [+1, +∞) |
| cosec θ | ℝ – nπ | (-∞, -1] U [+1, +∞) |
โดเมนและช่วงค่าของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
โดเมนของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
ฟังก์ชัน y = |ax + b| ถูกนิยามสำหรับจำนวนจริงทุกตัว ดังนั้นโดเมนของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด (real numbers) กล่าวได้ว่าโดเมน = ℝ
ช่วงค่าของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์
ค่าสัมบูรณ์ของตัวเลขจะมีค่าเป็นบวกเสมอ ดังนั้น ช่วงค่าของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ในรูปแบบ y = |ax + b| คือ เซตของจำนวนจริง y ที่มีค่าไม่ต่ำกว่าศูนย์ กล่าวคือช่วงค่า = {y ∈ ℝ | y ≥ 0}
ตัวอย่าง: หาโดเมนและช่วงค่าของฟังก์ชัน f(x) = |6 – x|
โดยที่f(x) = |6 – x|
โดยที่ a = -1 และ b = 6 เราจะได้f(x) = |-x + 6|
ดังนั้นโดเมน = ℝ
ช่วงค่า = [0, ∞)
โดเมนและช่วงค่าของฟังก์ชันรากที่สอง
ฟังก์ชันรากที่สอง
ฟังก์ชันรากที่สองมีรูปแบบเป็น f(x) = √(ax+b) โดยที่a และ b เป็นจำนวนจริงที่กำหนด
เราทราบว่า รากที่สองของจำนวนลบไม่ได้นิยามไว้ในตัวแปรจำนวนจริง ดังนั้น ฟังก์ชัน y= √(ax+b) นิยามได้เมื่อ ax+b ≥ 0 หรือ x ≥ -b/a
โดเมนของฟังก์ชันรากที่สอง
ดังนั้น โดเมนของฟังก์ชันรากที่สอง f(x) = √(ax+b) คือ เซตของจำนวนจริงที่มีค่าตั้งแต่ -b/a ขึ้นไป กล่าวคือโดเมน = [-b/a, ∞)
ช่วงค่าของฟังก์ชันรากที่สอง
เราทราบว่า รากที่สองของตัวเลขจะมีค่าไม่ต่ำกว่าศูนย์ ดังนั้น ช่วงค่าของฟังก์ชันรากที่สองจึงเป็นเซตของจำนวนจริงที่ไม่ต่ำกว่าศูนย์ กล่าวคือช่วงค่า = [0, ∞)
ตัวอย่าง: คำนวณโดเมนและช่วงค่าของฟังก์ชัน h(x) = 2 – √(-3x+2)
โดยที่h(x) = 2 – √(-3x+2)
โดเมน
สำหรับฟังก์ชันรากที่สอง มีการกำหนดให้นิยามได้เมื่อตัวแป
โดเมนและช่วงค่าจากรูปแผนภาพ
การหาโดเมนและช่วงค่าจากรูปแผนภาพ
การหาโดเมนและช่วงค่าจากรูปแผนภาพง่ายมาก โดย
- โดเมนของฟังก์ชันเท่ากับช่วงของค่า x ที่ถูกครอบคลุมโดยเส้นกราฟ
- ช่วงค่าของฟังก์ชันเท่ากับช่วงของค่า y ที่ถูกครอบคลุมโดยเส้นกราฟ
แต่ต้องระวังเรื่องต่อไปนี้เมื่อเขียนโดเมนและช่วงค่าจากรูปแผนภาพ
- ตรวจสอบว่าเส้นกราฟผ่านการทดสอบบนเส้นดิ่งได้หรือไม่ หากไม่ผ่านการทดสอบนี้ จะไม่มีการนิยามโดเมนและช่วงค่าสำหรับเส้นโค้งดังกล่าว
- หากมีรูเวลาในกราฟ จะไม่ต้องนำค่าพิกัดดังกล่าวไปใช้เป็นโดเมนและช่วงค่า
- หากมีเส้นแนวนอนได้ในกราฟ ค่า x ที่สอดคล้องกับเส้นแนวนอนดังกล่าวจะไม่ต้องเป็นส่วนหนึ่งของช่วงค่า
- หากมีเส้นแนวตั้งได้ในกราฟ ค่า y ที่สอดคล้องกับเส้นแนวตั้งดังกล่าวจะไม่ต้องเป็นส่วนหนึ่งของโดเมน
- หากกราฟแตกเป็นชิ้น ๆ จะได้รับชุด/ช่วงหลาย ๆ ชุดในโดเมนและช่วงค่า
คุณกำลังดู โดเมนและเรนจ์ – จากกราฟ
